Koni (geometri)

Koni, bir dik üçgenin ayaklarından birinin etrafında döndürülmesiyle oluşan üç boyutlu geometrik bir şekildir.

Koni (geometri)

Koni, daha sonra tepe adı verilen bir dış noktaya bağlı dairesel bir tabanı olan geometrik bir gövdedir.

Koninin bir devrim gövdesi olduğuna dikkat edilmelidir. Yani, bir şekli veya düz bir yüzeyi bir eksen etrafında döndürerek elde edebilirsiniz. Bu tür figürler, çokgen gibi düz yüzlere sahip olmayıp kavisli bir yüzeye sahip olmaları ile ayırt edilir. Diğer bazı örnekler silindir ve küredir.

Bu yazıda, tepe noktasının tabana dik olduğu (dik açı veya 90º oluşturan) koninin özelliklerini detaylandıracağımız açıklığa kavuşturulmalıdır. Ancak, bu koşulun sağlanmadığı ve şeklin eğik olduğu eğik koniler vardır.

Bir koninin elemanları

Aşağıdaki şekilden bize rehberlik eden bir koninin elemanları şunlardır:

  • Eksen : Koniyi oluşturan dik üçgenin etrafında döndüğü bacağın bulunduğu hayali çizgidir.
  • Taban: Koninin gövdesinin üzerinde oluştuğu dairedir. Yarıçapı (r) AC segmentidir.
  • Yönerge: Koninin tabanının çevresidir.
  • Generatrix (L uzunluğundaki BC segmenti): Köşeyi directrix’in herhangi bir noktasıyla birleştiren çizgidir. Yani, tepe noktasını tabanın konturu ile birleştiren herhangi bir parça. Ayrıca, koniyi oluşturmak için döndürülen dik üçgenin hipotenüsüdür.
  • Koni tepe noktası (B noktası): Şeklin tüm generatrislerinin çakıştığı directrix’in dış noktasıdır. Geometrik cismin zirvesidir.
  • Yükseklik (h uzunluğundaki AB parçası): Köşe ile tabanı birleştiren dik doğru parçasıdır. Koniyi oluşturmak için üçgenin etrafında döndüğü bacakla çakışır.
koni

Koni alanı ve hacmi

Bir koninin özelliklerini daha iyi anlamak için aşağıdaki ölçümleri hesaplayabiliriz:

  • Alan: Koninin alanını bulmak için tabanın alanını (A b ) artı şeklin gövdesinin alanını veya yanal alanı ( AL ) toplamamız gerekir.
Resim 427

Tabanın alanı, çevre makalesinde açıklandığı gibi hesaplanır, π ile çevrenin karesinin yarıçapı çarpılır.

Resim 428

Benzer şekilde, yanal alan, π’nin tabanın yarıçapı ve generatrisin (L) uzunluğu ile çarpılmasıyla hesaplanır.

Resim 429

Böylece, şeklin toplam alanını bulabiliriz:

Resim 430

Generatrix’in, tabanın yarıçapı ve koninin yüksekliği ile birlikte oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü olduğunu da hesaba katmalıyız, son ikisi bacaklardır. Bu nedenle, Pisagor teoremi uygulanabilir:

Resim 431
  • Hacim: Koninin hacmi, tabanın karesinin yarıçapı, π ve koninin yüksekliği ile 1/3’ün çarpılmasıyla hesaplanır.
Resim 432

koni örneği

Diyelim ki tabanı 12 metre yarıçaplı ve şeklin yüksekliği 14 metre olan bir koni var. Koninin alanı ve hacmi nedir?

İlk olarak, yukarıda açıklandığı gibi Pisagor teoremini uygulayarak generatrisin (L) uzunluğunu çözeriz:

Resim 434

Daha sonra koninin alanını bulmak için L’yi alan formülüne koyarız:

Resim 435

Son olarak, hacmi buluyoruz:

Resim 436