En büyük ortak bölen (GCF)

En büyük ortak bölen (GCF)

En büyük ortak böleni

En büyük ortak bölen (GCF), iki veya daha fazla sayının bölünebildiği en büyük sayıdır. Bu, herhangi bir kalıntı bırakmadan.

Yani, en büyük ortak bölen veya GCF, bir sayı kümesinin bölünebileceği ve bir tam sayı ile sonuçlanabileceği en yüksek rakamdır.

Bir bölen, resmi olarak, bir başka tam olarak n kez bir miktarda bulunan sayı olarak tanımlanabilir.

GCF’nin hesaplandığı sayıların sıfırdan farklı olması gerektiğine dikkat edilmelidir.

Daha iyi açıklamak için bir örneğe bakalım. Diyelim ki elimizde 35 ve 15 var. Böylece her birinin bölenlerinin ne olduğunu gözlemliyoruz:

  • 35 → 35,7,5,1’in Bölenleri
  • 15 → 15,5,3,1 bölenleri

Bu nedenle, 35 ve 15’in en büyük ortak böleni 5’tir.

İki sayının ortak bölenleri sadece 1 ve -1 ise, bunlara "birbirleriyle asal" denildiğini belirtmekte fayda var.

En büyük ortak böleni hesaplama yöntemleri

En büyük ortak böleni hesaplamak için aşağıdaki üç yöntemi ayırt edebiliriz:

  • Asal Faktörlere Ayrıştırma: Sayılar asal sayılara ayrıştırılır. Ardından, GCF’yi hesaplamak için en düşük güce yükseltilmiş ortak sayıları alırız. Örneğin, elimizde 216 ve 156 olduğunu varsayalım:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Bu nedenle, her iki sayı arasındaki en büyük ortak bölen: (2 ^ 2) * 3 = 12 olacaktır.

Şimdi üç öğemiz olduğunu varsayalım: 315, 441 ve 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Daha sonra, onları ayrıştırdıktan sonra, her bir böleni en düşük gücüyle alarak, sonuç şöyle olur:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

  • Öklid algoritması: b, bir bölerek, bir bölüm c ve R elde edilir. Yani, a ve b’nin en büyük ortak böleni b ve r aynıdır. Bu, aşağıdakiler verildiğinde: a = bc + r . Daha iyi anlamak için bu yöntemi daha önce 216 ve 156 ile gösterilen örneğe uygulayalım.

216/156 = 1, kalan 60

şimdi 156/60 = 2’yi 36 kalanıyla bölüyoruz

60/36 = 1’i tekrar 24 kalanıyla böleriz

36/24 = 1’i 12 kalanıyla böleriz

Ve son olarak 24/12 = 2’yi 0 kalanıyla böleriz

Bu nedenle, en büyük ortak bölen 12’dir. Gördüğümüz gibi, kalan 0 olana kadar bölmemiz gerekiyor ve son bölen EBOB olacak.

  • En küçük ortak kata göre : Sayılar çarpılır ve sonuç en küçük ortak katlarına (LCM) bölünür.
1

En küçük ortak katın (LCM), bir sayı kümesinin tüm öğelerinin katı olma koşulunu sağlayan en küçük rakam olduğunu hatırlamalıyız.

Yani, aynı örneğe geri dönersek, aşağıdaki gibi ayrıştırabiliriz:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) ve 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

En küçük ortak kat şöyle olur: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

Yani: OBEB = 216 * 156 / 2.808 = 12

Bu yöntemin sadece iki sayı için çalıştığını belirtmekte fayda var.

Birinci Dünya Savaşı

  • şirket örnekleri
  • Liberalizmin kısa tarihi
  • Turizm tarihi