Dönüm noktası

Matematiksel bir fonksiyonun bükülme noktası, onu temsil eden grafiğin içbükeyliğini değiştirdiği noktadır. Yani, içbükey olmaktan dışbükey olmaya ya da tam tersi olur.

Dönüm noktası

Bir başka deyişle bükülme noktası, fonksiyonun trend değiştirdiği andır.

Bir fikir edinmek için, kabaca bir grafik temsiline bakarak başlayalım:

Bükülme Noktası 1 1

Bir fonksiyonun birden fazla bükülme noktasına sahip olabileceği veya hiç sahip olamayacağı belirtilmelidir. Örneğin bir doğrunun büküm noktası yoktur.

Aşağıdaki grafikte, birden fazla bükülme noktası olan bir fonksiyon örneğini görelim:

Dönüş noktası

Ayrıca matematiksel terimlerle, fonksiyonun ikinci türevi sıfıra eşitlenerek bükülme noktası hesaplanır. Böylece, bu denklemin kökünü (veya köklerini) çözeriz ve ona Xi diyeceğiz.

Ardından, fonksiyonun üçüncü türevinde Xi’yi yerine koyarız. Sonuç sıfırdan farklıysa, bir bükülme noktasıyla karşı karşıyayız.

Ancak, sonuç sıfırsa, bu türevin değeri, ister üçüncü, ister dördüncü veya beşinci olsun, 0’dan farklı olana kadar, ardışık türevlerde yerine koymalıyız. Türev tek ise, bir bükülme noktasıdır, ancak eğer hayır ise.

Dönüm noktası örneği

Ardından, bir örneğe bakalım.

Aşağıdaki fonksiyona sahip olduğumuzu varsayalım:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‘= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1.25

Ardından, üçüncü türevde Xi’yi değiştiririz:

y »’= 48x

y »’= 48x-1.25 = -60

Sonuç sıfırdan farklı olduğu için, aşağıdaki grafikte gösterdiğimiz gibi, x’in -1.25’e ve y’nin -2.1328’e eşit olduğu zaman olacak bir bükülme noktasının önünde buluyoruz kendimizi.

Burada fonksiyonun bir bükülme noktasına sahip olduğu gözlemlenir:

Dönüm noktası

Şimdi başka bir örneğe bakalım:

y = x 4 -54x 2

y ‘= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 ve -3

Ardından, üçüncü türevde bulunan iki kökü değiştiririz:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Sonuç sıfır olmadığı için, (3,567) ve (-3,567)’de iki bükülme noktamız var.

Bilgileri tamamlamak için sizi bu kavramı daha genel olarak ele aldığımız çekim makalesini ziyaret etmeye davet ediyoruz: