2. dereceden ters matris

2. dereceden ters matris

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 20.00.25'te

Ters matris, matrisin determinantının tersini, aktarılan ek matris ile çarparak bir matrisin doğrusal dönüşümüdür.

Başka bir deyişle, bir ters matris, determinantın tersinin transpoze edilmiş ek matris ile çarpımıdır.

Önerilen makaleler: bir matrisin determinantı, kare matris, ana köşegen ve matrislerle işlemler.

Herhangi bir X matrisi verildiğinde,

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 19.30.11'de
2. dereceden kare matris.

2. dereceden bir matrisin ters matris formülü

O zaman X’in ters matrisi

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.31.12
2. dereceden bir kare matrisin ters matris formülü.

Bu formülü kullanarak 2. dereceden bir kare matrisin ters matrisini elde ederiz.

Yukarıdaki formül, matrisin determinantı ile de ifade edilebilir.

2. dereceden bir matrisin ters matris formülü

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.32.12
2. dereceden bir kare matrisin ters matris formülü.

Paydadaki X etrafındaki iki paralel çizgi, bunun X matrisinin determinantı olduğunu gösterir.

Bir kare matrisin ters matrisi varsa, bunun normal bir matris olduğunu söyleriz.

Gereksinimler

n dereceli bir matrisin ters matrisini bulmak için aşağıdaki gereksinimleri karşılamamız gerekir:

  • Matris bir kare matris olmalıdır.

Satır sayısı (n), sütun sayısı (m) ile aynı olmalıdır. Yani, n = m olduğu için matrisin sırası n olmalıdır.

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.33.16
n. mertebeden kare matris
  • Determinant sıfırdan farklı (0) olmalıdır.

Matrisin determinantı, formülde payda olarak yer aldığı için sıfırdan farklı (0) olmalıdır. Payda sıfır (0) olsaydı belirsizliğe sahip olurduk.

Payda (ad – bc) = 0 ise, yani X matrisinin determinantı sıfır (0) ise, X matrisinin ters matrisi yoktur.

Mülk

n mertebesinde bir X kare matrisi, n, X -1 mertebesinde bir ters X matrisine sahip olacaktır, öyle ki,

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.34.10
Ters matris özelliği.

Çarpma elemanlarının sırası alakalı değildir, yani herhangi bir kare matrisin ters matrisiyle çarpımı her zaman aynı dereceden birim matrisiyle sonuçlanacaktır.

Bu durumda, X matrisinin sırası 2’dir. Böylece, önceki özelliği şu şekilde yeniden yazabiliriz:

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.34.42
Ters matris özelliği.

pratik örnek

V matrisinin ters matrisini bulun.

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.35.27
2. dereceden örnek ters matris.

Bu örneği çözmek için formülü uygulayabilir veya önce determinantı hesaplayabilir ve sonra yerine koyabiliriz.

formül

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.35.52
Ters matris formülünün V matrisine uygulanması.

Determinantlı formül

Önce V matrisinin determinantını hesaplıyoruz ve sonra onu formülde yerine koyuyoruz.

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.36.14
V matrisinin determinantı

Sonra, V matrisinin determinantının sıfırdan (0) farklı olduğunu elde ederiz ve V matrisinin bir ters matrisi olduğunu söyleyebiliriz.

Ekran Görüntüsü 2019 08 13 A Les 19.36.52
V’nin determinantı ile V matrisinin ters matrisi.

Aynı sonucu formülü kullanarak veya önce determinantı hesaplayıp sonra yerine koyarak elde ederiz.

Ters matrisin sırası, orijinal matrisin sırası ile aynıdır. Bu durumda, hem V hem de V -1 matrisinde aynı sayıda n satırına ve m sütununa sahip olacağız.

matris bölümü

  • Kare matris
  • kimlik matrisi
  • Ekli matris