En symmetrisk matris är en matris av ordningen n med samma antal rader och kolumner där dess transponerade matris är lika med den ursprungliga matrisen.
Med andra ord är en symmetrisk matris en kvadratisk matris och är identisk med matrisen efter att ha bytt rader mot kolumner och kolumner mot rader.
Krav
För att en matris ska vara en symmetrisk matris måste den uppfylla följande begränsningar:
Givet en symmetrisk matris P av ordningen n,
- Var en kvadratisk matris .
Antalet rader (n) måste vara detsamma som antalet kolumner (m). Det vill säga, ordningen på matrisen måste vara n givet att n = m.
- Den ursprungliga matrisen måste vara lika med dess transponerade matris .
Demonstration:
Egenskaper
- Den angränsande matrisen för en symmetrisk matris är också en symmetrisk matris.
Demonstration:
- Addering eller subtraktion av två symmetriska matriser resulterar i en annan symmetrisk matris.
Demonstration:
Givet två symmetriska matriser P och T av ordning 3 får vi en annan symmetrisk matris S från summan.
Varför kallas det en symmetrisk matris?
Egenskapen symmetri ges av elementen runt huvuddiagonalen. Eftersom en kvadratisk matris är en symmetrisk matris kommer den alltid att ha samma antal element över och under huvuddiagonalen. Dessa element är desamma symmetriskt. Det vill säga att huvuddiagonalen fungerar som en spegel.
Bevis på symmetri och skevhet i en matris
Symmetrisk matris
Bokstaven d representerar elementen i huvuddiagonalen. De andra bokstäverna representerar alla reella tal. Vi kan se att huvuddiagonalen fungerar som en spegel: den reflekterar elementen på båda sidor. Med andra ord, när elementen på båda sidor av diagonalen är symmetriskt lika, säger vi att matrisen P är en symmetrisk matris.
Icke-symmetrisk matris
Matris X är inte en symmetrisk matris eftersom den inte är en kvadratisk matris och dess transponerade matris skiljer sig från den ursprungliga matrisen. Dessutom har den ingen huvuddiagonal heller.
Icke-symmetrisk matris