Konvexiteten hos en bindning

En obligations konvexitet är lutningen på kurvan som relaterar pris och lönsamhet. Mäter förändringen i obligationens duration till följd av en förändring i lönsamhet.

Konvexiteten hos en bindning

Matematiskt uttrycks det som andraderivatan av pris-lönsamhetskurvan. Formeln är följande:

Variationen i priset på en obligation vid förändringar i räntesatserna är summan av variationen som orsakas av den modifierade durationen och variationen som orsakas av obligationens konvexitet.

Om en obligations konvexitet är lika med 100, kommer priset på obligationen att ändras ytterligare 1% för varje 1% förändring i räntesatserna, utöver det som beräknas av durationen. Om en obligations konvexitet är lika med noll, kommer priset på obligationen att variera med förändringar i räntesatserna med det belopp som motiveras av obligationens varaktighet.

Relationskonvexitet för en obligation och varaktighet för en obligation

En obligations konvexitet ger oss ett mycket mer exakt mått på pris-avkastningsförändringarna för en obligation. Durationen för en obligation förutsätter att förhållandet mellan pris och avkastning är konstant. Verkligheten är dock väldigt annorlunda. Med tanke på små pris- och lönsamhetsvariationer är varaktigheten därför ett acceptabelt mått. Men för större variationer blir beräkningen av konvexitet väsentlig.

Matematiskt kan det verka som lite av en abstrakt term. Eftersom det grafiskt är mycket lättare att förstå, låt oss se det representerat. I de följande två graferna ser vi representerade både varaktigheten och konvexiteten.

Ju lägre avkastning på obligationen desto högre pris. Och vice versa, ju högre obligationens lönsamhet är, desto lägre pris. Naturligtvis förändras inte priset i samma proportion om lönsamheten ändras från 10 till 12 % som om den ändras från 1 till 2 %. Detta är vad konvexitet tar hänsyn till. Varaktigheten förutsätter att prisförändringen är densamma varje gång. Medan konvexitet tar hänsyn till att prisförändringen inte är konstant. Skillnaden mellan den blå linjen och den orange linjen är själva konvexiteten. Den orange linjen är förändringen i priset på obligationen med hänsyn tagen till durationen. Slutligen representerar den blå linjen förändringarna i priset på obligationen med hänsyn till varaktighet och konvexitet.

Exempel på konvexitet hos en bindning

Vi har en obligation som förfaller om 10 år. Kupongen är 7 % och obligationen har ett nominellt värde på 100 euro. Marknadens IRR är 5%. Vilket innebär att obligationer med liknande egenskaper ger en avkastning på 5 %. Eller vad är samma 2% mindre. Kupongbetalningen är årlig.

Om avkastningen på obligationen går från 7 % till 5 %, hur mycket förändras priset på obligationen? För att beräkna variationen som priset skulle ha vid en förändring av räntan behöver vi följande formler:

Obligationsprisberäkning:

Beräkning av bonusens varaktighet:

Beräkning av modifierad varaktighet:

Beräkning av konvexitet:

Beräkning av variationen av varaktigheten:

Beräkning av variationen av konvexitet:

Beräkning av variationen i priset på obligationen:

Ladda ner exceltabell för att se alla detaljerade beräkningar

Med hjälp av ovan nämnda formler får vi följande data:

Obligationspris = 115,44

Varaktighet = 7,71

Modifierad varaktighet = 7,34

Konvexitet = 69,73

Prisvariationen inför en nedgång på 2 % i avkastningen på obligationen är + 14,68 % med hänsyn tagen till durationen. Variationen i priset på obligationen med hänsyn till konvexiteten är + 1,39 %. För att få den totala variationen av priset måste vi lägga till de två varianterna. Beräkningen visar att inför en nedgång på 2 % i denna obligation skulle priset öka med 16,07 %.