En icke-symmetrisk matris är en icke-kvadratisk matris där elementen i den transponerade matrisen är i andra positioner än elementen i den ursprungliga matrisen.
Med andra ord är den icke-symmetriska matrisen en matris där antalet rader (n) skiljer sig från antalet kolumner (m) och transponeringen av matrisen skiljer sig från den ursprungliga matrisen.
Det är viktigt att inte blanda ihop icke-symmetriska matriser med antisymmetriska matriser eftersom de är väldigt olika begrepp och refererar till olika element i matrisen.
För att en matris ska vara symmetrisk måste den vara en kvadratisk matris och den måste vara lika med dess transponerade matris. Med andra ord, att antalet rader (n) är lika med antalet kolumner (m) och att elementen i matrisen inte ändras när raderna väl har ändrats av kolumnerna.
Matematiskt betyder begreppet symmetri att om man tillämpar transponeringsoperationen kommer elementen i matrisen inte att förändras.
Den symmetriska matrisen och speglar
Vi kommer bättre att förstå konceptet med en icke-symmetrisk matris om vi tänker på effekten som en spegel producerar.
Om vi tittar i spegeln kommer vi att se vårt ansikte reflekteras; om vi höjer en hand kommer en hand också att resa sig i spegeln. På samma sätt som om vi gör någon gest kommer samma reflekterade gest att dyka upp.
Tja, samma sak händer med huvuddiagonalen för en symmetrisk matris. Objekt under eller över huvuddiagonalen kommer att vara desamma. Det vill säga att huvuddiagonalen för en symmetrisk matris fungerar som en spegel av elementen runt den.
Givet en symmetrisk matris S ,
Den transponerade matrisen S skulle ha följande form:
För mer information om dess matematiska egenskaper, se artikeln om symmetrisk matris.
Den icke-symmetriska matrisen och speglar
När det gäller den icke-symmetriska matrisen är det som om spegeln var trasig.
Och när en spegel är trasig reflekterar den inte så bra elementen framför den. Vi kan höja högerhanden och se att fyra händer höjs eller ingen höjs.
Så, med samma logik, handlar den icke-symmetriska matrisen om att inte ha samma element över eller under huvuddiagonalen och även att de inte är lika.
Så att:
I denna matris kan vi inte hitta huvuddiagonalen och därför finns det ingen symmetri i antalet element. Dessutom, om vi transponerar den föregående matrisen kommer vi att se att den inte behåller sitt ursprungliga tillstånd.
Den transponerade NS- matrisen skulle ha följande form:
Sammanfattning
När vi stöter på begreppet en icke-symmetrisk matris behöver vi bara tänka på den symmetriska matrisen och sätta en negation framför dess egenskaper. Det vill säga, en icke-symmetrisk matris kommer att vara sådan att den uppfyller:
- Icke kvadratisk matris.
- Transponerad matris är inte lika med originalmatris.
Det kan tyckas lätt att komma ihåg vad en icke-symmetrisk matris är, men när vi arbetar med antisymmetriska matriser blandar vi ibland ihop begreppen.
Antisymmetrisk matris