Böjningspunkt

Böjningspunkten för en matematisk funktion är den punkt där grafen som representerar den ändrar sin konkavitet. Det vill säga att det går från att vara konkavt till att vara konvext, eller vice versa.

Böjningspunkt

Böjningspunkten är med andra ord det ögonblick då funktionen ändrar trend.

För att få en idé, låt oss börja med att titta på den i en grafisk representation, ungefär:

Böjningspunkt 1 1

Det bör noteras att en funktion kan ha mer än en böjningspunkt, eller inte ha dem alls. Till exempel har en linje ingen böjningspunkt.

Låt oss se, i följande graf, ett exempel på en funktion med mer än en böjningspunkt:

Vändpunkter

Även i matematiska termer beräknas böjningspunkten genom att sätta andraderivatan av funktionen lika med noll. Således löser vi roten (eller rötterna) till den ekvationen och vi kommer att kalla den Xi.

Sedan ersätter vi Xi i den tredje derivatan av funktionen. Om resultatet skiljer sig från noll står vi inför en böjningspunkt.

Men om resultatet är noll måste vi ersätta i de successiva derivatorna, tills värdet på denna derivata, vare sig det är den tredje, fjärde eller femte, skiljer sig från 0. Om derivatan är udda är det en böjningspunkt , men om det ens är nej.

Vändpunkt exempel

Låt oss sedan titta på ett exempel.

Anta att vi har följande funktion:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ’= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Sedan ersätter vi Xi i den tredje derivatan:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Eftersom resultatet skiljer sig från noll, befinner vi oss framför en böjningspunkt som skulle vara när x är lika med -1,25 och y är lika med -2,1328, som vi illustrerar i följande graf.

I detta observeras att funktionen har en böjningspunkt:

Böjningspunkt

Låt oss nu titta på ett annat exempel:

y = x 4 -54x 2

y ’= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 och -3

Sedan ersätter vi de två rötterna som finns i den tredje derivatan:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Eftersom resultatet inte är noll har vi två böjningspunkter vid (3 567) och (-3 567).

För att komplettera informationen inbjuder vi dig att besöka böjningsartikeln, där vi täcker detta koncept mer generellt: