Antisymmetrisk matris

Antisymmetrisk matris

Spegel 1

En antisymmetrisk matris är en kvadratisk matris där elementen utanför huvuddiagonalen är symmetriskt lika men de under huvuddiagonalen har ett negativt tecken.

Med andra ord är en antisymmetrisk matris en matris som har samma antal rader (n) och kolumner (m) och elementen på båda sidor av huvuddiagonalen är komplementära.

Eftersom elementen över och under huvuddiagonalen är förskjutna, är elementen på huvuddiagonalen nollor.

Rekommenderad artikel: icke-symmetrisk matris och symmetrisk matris.

Egenskaper för den antisymmetriska matrisen

Egenskaperna för en antisymmetrisk matris är:

  • Kvadratisk matris.
  • Symmetrisk matris + negativt tecken (-) i elementen under huvuddiagonalen.
  • Element i huvuddiagonalen är nollor (0).

Antisymmetrisk matris

Givet en kvadratisk matris AS ,

Antisymmetrisk matris 1
Antisymmetrisk matris

Vi kan se hur samma element uppträder på båda sidor om huvuddiagonalen, men med det speciella att elementen under huvuddiagonalen har ett negativt tecken framför. Dessutom består huvuddiagonalen av nollor.

Den antisymmetriska matrisen och speglar

På samma sätt som den symmetriska matrisen kan den antisymmetriska matrisen också förstås genom exemplet med spegeln.

Spegel 1
Spegel

Om vi ​​tittar på oss själva i spegeln och höjer vår högra arm kommer vi att se att personen i spegeln höjer sin vänstra arm. Med andra ord, spegelns rörelse kompletterar vår och därför skulle summan av båda resultera i noll.

Vi kan uttrycka ovanstående idé enligt följande och härleda:

(Höj höger hand) (Höj vänster hand) = 0

(Höj höger hand) = (Höj vänster hand)

Huvuddiagonalen fungerar som en spegel och vi ser motstående element på båda sidor om huvuddiagonalen. Den neutrala funktionen (=) mappar till huvuddiagonalen.

Fast egendom

  • Den transponerade matrisen för en antisymmetrisk matris är lika med den antisymmetriska matrisen multiplicerad med (-1).

Med andra ord skulle det vara som att lägga till ett negativt tecken framför den antisymmetriska matrisen.

Matematiskt,

Antisymmetrisk matrisegenskap 1
Egenskapen hos den antisymmetriska matrisen

Vi kan se att med båda procedurerna kommer vi fram till samma resultat: att göra den transponerade matrisen eller multiplicera med (-1) den antisymmetriska matrisen.

Icke-symmetrisk matris vs antisymmetrisk matris vs symmetrisk matris

Exemplet på spegeln när det gäller den symmetriska matrisen är tillräckligt för att den reflekterar samma rörelse, det vill säga om vi höjer en arm kan vi se en upphöjd arm men det är inte nödvändigt att specificera vad det är. När det gäller den antisymmetriska matrisen måste vi kontrollera vilken arm vi ser i spegeln och avgöra om det är en antisymmetrisk matris.

Om vi ​​höjer en arm och i spegeln ser vi att …

  • Samma arm höjs, ur personens synvinkel i spegeln, då är det en symmetrisk matris.
  • Den motsatta armen höjs, ur personens synvinkel i spegeln, då är det en antisymmetrisk matris.
  • Om ingen arm höjs eller mer än en höjs, ur personen i spegelns synvinkel, är det en icke-symmetrisk matris.

Matrisindelning

  • Huvuddiagonal
  • Bifogad matris
  • Historiska utbytesregimer i Mexiko