Matrica simetrike

Një matricë simetrike është një matricë e rendit n me të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash ku matrica e transpozuar e saj është e barabartë me matricën origjinale.

Me fjalë të tjera, një matricë simetrike është një matricë katrore dhe është identike me matricën pasi ka ndryshuar rreshtat për kolonat dhe kolonat për rreshtat.

Kërkesat

Që çdo matricë të jetë një matricë simetrike, ajo duhet të plotësojë kufizimet e mëposhtme:

Jepet një matricë simetrike P e rendit n,

• Të jetë një matricë katrore .

Numri i rreshtave (n) duhet të jetë i njëjtë me numrin e kolonave (m). Kjo do të thotë, rendi i matricës duhet të jetë n duke pasur parasysh se n = m.

• Matrica origjinale duhet të jetë e barabartë me matricën e saj të transpozuar .

Demonstrimi:

Vetitë

• Matrica e bashkuar e një matrice simetrike është gjithashtu një matricë simetrike.

Demonstrimi:

• Shtimi ose zbritja e dy matricave simetrike rezulton në një matricë tjetër simetrike.

Demonstrimi:

Duke pasur parasysh dy matrica simetrike P dhe T të rendit 3, marrim një matricë tjetër simetrike S nga shuma.

Pse quhet matricë simetrike?

Vetia e simetrisë jepet nga elementët rreth diagonales kryesore. Meqenëse një matricë katrore është një matricë simetrike, ajo gjithmonë do të ketë të njëjtin numër elementesh sipër dhe poshtë diagonales kryesore. Këta elementë janë të njëjtë në mënyrë simetrike. Kjo do të thotë, diagonalja kryesore vepron si një pasqyrë.

Vërtetimi i simetrisë dhe anshmërisë së një matrice

Matrica simetrike

Shkronja d paraqet elementet e diagonales kryesore. Shkronjat e tjera përfaqësojnë çdo numër real. Mund të shohim se diagonalja kryesore vepron si një pasqyrë: ajo reflekton elementët në të dy anët. Me fjalë të tjera, kur elementët në të dy anët e diagonales janë simetrikisht të barabartë, themi se matrica P është një matricë simetrike.

Matricë jo simetrike

Matrica X nuk është një matricë simetrike pasi nuk është një matricë katrore dhe matrica e transpozuar e saj është e ndryshme nga matrica origjinale. Përveç kësaj, ai nuk ka as një diagonale kryesore.