Dallimi midis konkave dhe konveksit mund të shpjegohet si më poshtë → Termi konveks i referohet faktit që një sipërfaqe ka një lakim nga brenda, ndërsa nëse do të ishte konkave lakimi do të ishte nga jashtë.
Kështu, ne mund ta përshkruajmë atë në një mënyrë tjetër. Pjesa qendrore e një sipërfaqeje konkave është më e dëshpëruar ose e zhytur. Nga ana tjetër, nëse do të ishte konveks, ajo pjesë qendrore do të shfaqte një shqim.
Për ta kuptuar më mirë mund të citojmë disa shembuj. Së pari, rasti klasik i një sfere, sipërfaqja e së cilës është konveks. Megjithatë, nëse e ndajmë në dysh dhe mbajmë gjysmën e poshtme, do të kishim një objekt konkav, me një varje (duke supozuar se pjesa e brendshme e sferës është bosh).
Një shembull tjetër i konveksit do të ishte një mal, pasi ai është një vend i rëndësishëm në lidhje me sipërfaqen e tokës. Përkundrazi, një pus është konkav, pasi hyrja në të nënkupton fundosje, nën nivelin e sipërfaqes së tokës.
Duhet të theksohet gjithashtu se për të përcaktuar një objekt si perspektivë konkave ose konveks duhet gjithashtu të merret parasysh. Kështu, një tas supë, për shembull, kur është gati për t’u shërbyer, është konkave, ka një varje. Megjithatë, nëse e kthejmë, pllaka do të jetë konveks.
Nga ana tjetër, në rastin e parabolave, ato janë konvekse nëse kanë një formë U, por konkave nëse kanë një formë U të përmbysur.
Funksionet konkave dhe konvekse
Nëse derivati i dytë i një funksioni është më i vogël se zero në një pikë, atëherë funksioni është konkav në atë pikë. Nga ana tjetër, nëse është më i madh se zero, ai është konveks në atë pikë. Sa më sipër mund të shprehet si më poshtë:
Nëse f »(x) <0, f (x), është konkave.
Nëse f »(x)> 0, f (x) është konveks.
Për shembull, në ekuacionin f (x) = x 2 + 5x-6, mund të llogarisim derivatin e tij të parë:
f ‘(x) = 2x + 5
Pastaj gjejmë derivatin e dytë:
f »(x) = 2
Prandaj, duke qenë se f »(x) është më i madh se 0, funksioni është konveks për çdo vlerë të x, siç e shohim në grafikun e mëposhtëm:
Tani, le të shohim rastin e këtij funksioni tjetër: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f ‘(x) = – 8x + 7
f »(x) = – 8
Prandaj, meqenëse derivati i dytë është më i vogël se 0, funksioni është konkav për çdo vlerë të x.
Por tani le të shohim ekuacionin e mëposhtëm: -5 x 3 + 7x 2 +5 x-4
f ‘(x) = – 15x 2 + 14x + 5
f »(x) = – 30x + 14
Ne vendosim derivatin e dytë të barabartë me zero:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Pra, kur x është më i madh se 0,4667, f »(x) është më i madh se zero, pra funksioni është konveks. Ndërsa nëse x është më pak se 0.4667, funksioni është konkav, siç e shohim në grafikun më poshtë:
Shumëkëndëshi konveks dhe konkav
Një shumëkëndësh konveks është ai ku dy nga pikat e tij mund të bashkohen, duke tërhequr një vijë të drejtë që mbetet brenda figurës. Po kështu, këndet e tij të brendshme janë të gjitha më pak se 180º.
Nga ana tjetër, një shumëkëndësh konkav është ai ku, për të bashkuar dy nga pikat e tij, duhet të vizatohet një vijë e drejtë që është jashtë figurës, kjo është një diagonale e jashtme që bashkon dy kulme. Për më tepër, të paktën një nga këndet e tij të brendshme është më i madh se 180º.
Ne mund të shohim një krahasim në imazhin më poshtë:
