Symetrická matica je matica rádu n s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov, pričom jej transponovaná matica sa rovná pôvodnej matici.
Inými slovami, symetrická matica je štvorcová matica a je identická s maticou po výmene riadkov za stĺpce a stĺpcov za riadky.
Požiadavky
Aby bola akákoľvek matica symetrická, musí spĺňať nasledujúce obmedzenia:
Vzhľadom na symetrickú maticu P rádu n,
- Buďte štvorcovou maticou .
Počet riadkov (n) musí byť rovnaký ako počet stĺpcov (m). To znamená, že poradie matice musí byť n, keďže n = m.
- Pôvodná matica sa musí rovnať jej transponovanej matici .
demonštrácia:
Vlastnosti
- Pridružená matica symetrickej matice je tiež symetrická matica.
demonštrácia:
- Sčítanie alebo odčítanie dvoch symetrických matíc vedie k ďalšej symetrickej matici.
demonštrácia:
Dané dve symetrické matice P a T rádu 3 získame zo súčtu ďalšiu symetrickú maticu S.
Prečo sa nazýva symetrická matica?
Vlastnosť symetrie je daná prvkami okolo hlavnej diagonály. Keďže štvorcová matica je symetrická matica, bude mať vždy rovnaký počet prvkov nad a pod hlavnou uhlopriečkou. Tieto prvky sú symetricky rovnaké. To znamená, že hlavná uhlopriečka funguje ako zrkadlo.
Dôkaz symetrie a šikmosti matice
Symetrická matica
Písmeno d predstavuje prvky hlavnej uhlopriečky. Ostatné písmená predstavujú akékoľvek reálne číslo. Vidíme, že hlavná uhlopriečka pôsobí ako zrkadlo: odráža prvky na oboch stranách. Inými slovami, keď sú prvky na oboch stranách uhlopriečky symetricky rovnaké, hovoríme, že matica P je symetrická matica.
Nesymetrická matica
Matica X nie je symetrická matica, pretože nejde o štvorcovú maticu a jej transponovaná matica je odlišná od pôvodnej matice. Navyše nemá ani hlavnú uhlopriečku.
Nesymetrická matica