Rozdiel medzi konkávnym a konvexným možno vysvetliť nasledovne → Termín konvexný sa vzťahuje na skutočnosť, že povrch má zakrivenie dovnútra, kým ak by bol konkávny, zakrivenie by bolo smerom von.
Môžeme to teda opísať aj inak. Stredná časť konkávneho povrchu je viac stlačená alebo stlačená. Na druhej strane, ak by bola konvexná, táto centrálna časť by bola výrazná.
Aby sme to lepšie pochopili, môžeme uviesť niekoľko príkladov. Po prvé, klasický prípad gule, ktorej povrch je konvexný. Ak by sme ju však rozrezali na dve časti a zachovali by sme spodnú polovicu, mali by sme konkávny predmet s priehybom (za predpokladu, že vnútro gule je prázdne).
Ďalším príkladom konvexnosti by mohla byť hora, keďže ide o vyvýšeninu vzhľadom na zemský povrch. Naopak, studňa je konkávna, keďže vstup do nej znamená klesanie pod úroveň zemského povrchu.
Treba tiež poznamenať, že definovanie objektu ako konkávnej alebo konvexnej perspektívy je tiež potrebné vziať do úvahy. Napríklad miska polievky, keď je pripravená na podávanie, je vydutá, má priehyb. Ak ho však prevrátime, plech bude vypuklý.
Na druhej strane v prípade parabol sú konvexné, ak majú tvar U, ale konkávne, ak majú tvar obráteného U.
Konkávne a konvexné funkcie
Ak je druhá derivácia funkcie v bode menšia ako nula, potom je funkcia v tomto bode konkávna. Na druhej strane, ak je väčšia ako nula, je v tomto bode konvexná. Vyššie uvedené možno vyjadriť takto:
Ak f »(x) <0, f (x), je konkávny.
Ak f »(x)> 0, f (x) je konvexné.
Napríklad v rovnici f (x) = x 2 + 5x-6 môžeme vypočítať jej prvú deriváciu:
f ‚(x) = 2x + 5
Potom nájdeme druhú deriváciu:
f »(x) = 2
Preto, keďže f »(x) je väčšie ako 0, funkcia je konvexná pre každú hodnotu x, ako vidíme v grafe nižšie:
Teraz sa pozrime na prípad tejto ďalšej funkcie: f (x) = – 4x 2 + 7x + 9.
f ‚(x) = – 8x + 7
f »(x) = – 8
Preto, keďže druhá derivácia je menšia ako 0, funkcia je konkávna pre každú hodnotu x.
Teraz sa však pozrime na nasledujúcu rovnicu: -5 x 3 + 7x 2 +5 x-4
f ‚(x) = – 15x 2 + 14x + 5
f »(x) = – 30x + 14
Druhú deriváciu nastavíme na nulu:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Takže keď x je väčšie ako 0,4667, f »(x) je väčšie ako nula, takže funkcia je konvexná. Ak je x menšie ako 0,4667, funkcia je konkávna, ako vidíme v grafe nižšie:
Konvexný a konkávny mnohouholník
Konvexný mnohouholník je taký, v ktorom môžu byť dva jeho body spojené a nakreslením priamky, ktorá zostáva vo vnútri obrázku. Podobne sú všetky jeho vnútorné uhly menšie ako 180º.
Na druhej strane, konkávny mnohouholník je taký, kde na spojenie dvoch jeho bodov musí byť nakreslená priamka, ktorá je mimo obrazca, čo je vonkajšia diagonála, ktorá spája dva vrcholy. Navyše, aspoň jeden z jeho vnútorných uhlov je väčší ako 180°.
Porovnanie môžeme vidieť na obrázku nižšie:
