Konvexnosť väzby

Konvexnosť dlhopisu je sklon krivky, ktorý spája cenu a ziskovosť. Meria zmenu v durácii dlhopisu v dôsledku zmeny ziskovosti.

Konvexnosť väzby

Matematicky je vyjadrená ako druhá derivácia krivky cena-ziskovosť. Vzorec je nasledovný:

Kolísanie ceny dlhopisu v prípade zmien úrokových sadzieb je súčtom zmien spôsobených modifikovanou duráciou a zmien spôsobených konvexnosťou dlhopisu.

Ak je konvexnosť dlhopisu rovná 100, cena dlhopisu sa zmení o ďalšie 1 % za každé 1 % zmeny úrokových sadzieb, navyše k zmene vypočítanej duráciou. Ak je konvexnosť dlhopisu rovná nule, cena dlhopisu sa bude meniť so zmenami úrokových sadzieb o sumu motivovanú dĺžkou trvania dlhopisu.

Vzťahová konvexnosť dlhopisu a trvanie dlhopisu

Konvexnosť dlhopisu nám ponúka oveľa presnejšie meranie zmien ceny a výnosu dlhopisu. Trvanie dlhopisu predpokladá, že vzťah medzi cenou a výnosom je konštantný. Realita je však veľmi odlišná. Preto vzhľadom na malé rozdiely medzi cenou a ziskovosťou je trvanie prijateľným meradlom. Ale pre väčšie variácie sa výpočet konvexnosti stáva nevyhnutným.

Matematicky sa to môže zdať ako trochu abstraktný pojem. Keďže graficky je to oveľa jednoduchšie na pochopenie, pozrime sa na to znázornené. V nasledujúcich dvoch grafoch vidíme znázornené trvanie aj konvexnosť.

Čím nižší je výnos dlhopisu, tým vyššia je jeho cena. A naopak, čím vyššia je ziskovosť dlhopisu, tým je jeho cena nižšia. Cena sa samozrejme nemení v rovnakom pomere, ak sa jej ziskovosť zmení z 10 na 12 %, ako keby sa zmenila z 1 na 2 %. Toto berie do úvahy konvexnosť. Trvanie predpokladá, že zmena ceny je zakaždým rovnaká. Zatiaľ čo konvexnosť berie do úvahy, že zmena ceny nie je konštantná. Rozdiel medzi modrou a oranžovou čiarou je samotná konvexnosť. Oranžová čiara predstavuje zmenu ceny dlhopisu s prihliadnutím na duráciu. Nakoniec modrá čiara predstavuje zmeny v cene dlhopisu s prihliadnutím na duráciu a konvexnosť.

Príklad konvexnosti väzby

Máme dlhopis so splatnosťou o 10 rokov. Kupón je 7% a dlhopis má nominálnu hodnotu 100 eur. Trhové IRR je 5 %. To znamená, že dlhopisy s podobnými charakteristikami ponúkajú 5% návratnosť. Alebo čo je to isté o 2% menej. Výplata kupónu je ročná.

Ak sa výnos dlhopisu dostane zo 7 % na 5 %, o koľko sa zmení cena dlhopisu? Na výpočet odchýlky, ktorú by mala cena v prípade zmeny úrokovej sadzby, budeme potrebovať nasledujúce vzorce:

Výpočet ceny dlhopisu:

Výpočet trvania bonusu:

Výpočet modifikovaného trvania:

Výpočet konvexnosti:

Výpočet variácie trvania:

Výpočet variácie konvexnosti:

Výpočet zmeny ceny dlhopisu:

Stiahnite si excelovú tabuľku a pozrite si všetky podrobné výpočty

Pomocou vyššie uvedených vzorcov získame nasledujúce údaje:

Cena dlhopisu = 115,44

Trvanie = 7,71

Upravené trvanie = 7,34

Konvexnosť = 69,73

Zmena ceny pri 2 % poklese výnosu dlhopisu je + 14,68 % pri zohľadnení durácie. Rozdiel v cene dlhopisu pri zohľadnení konvexnosti je + 1,39 %. Aby sme získali celkovú variáciu ceny, musíme spočítať dve variácie. Výpočet ukazuje, že pri poklese tohto dlhopisu o 2 % by cena vzrástla o 16,07 %.