Inflexný bod

Inflexný bod matematickej funkcie je bod, v ktorom graf, ktorý ju reprezentuje, mení svoju konkávnosť. To znamená, že prechádza od konkávneho k konvexnému alebo naopak.

Inflexný bod

Inými slovami, inflexný bod je moment, keď funkcia zmení trend.

Aby ste mali predstavu, začnime tým, že sa na to pozrieme v grafickom znázornení, zhruba:

Inflexný bod 1 1

Je potrebné poznamenať, že funkcia môže mať viac ako jeden inflexný bod alebo ich nemusí mať vôbec. Napríklad čiara nemá inflexný bod.

Pozrime sa v nasledujúcom grafe na príklad funkcie s viac ako jedným inflexným bodom:

Prelomové body

Z matematického hľadiska sa inflexný bod vypočíta aj nastavením druhej derivácie funkcie na nulu. Riešime teda koreň (alebo korene) tejto rovnice a nazveme ju Xi.

Potom nahradíme Xi v tretej derivácii funkcie. Ak je výsledok iný ako nula, stojíme pred inflexným bodom.

Ak je však výsledok nula, musíme v postupných deriváciách nahradiť, kým hodnota tejto derivácie, či už tretej, štvrtej alebo piatej, nebude iná ako 0. Ak je derivácia nepárna, ide o inflexný bod , ale ak je to dokonca nie.

Príklad zlomového bodu

Ďalej sa pozrime na príklad.

Predpokladajme, že máme nasledujúcu funkciu:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y, = 8x 3 + 15x 2 9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Potom nahradíme Xi v tretej derivácii:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Keďže výsledok je odlišný od nuly, ocitneme sa pred inflexným bodom, ktorý by bol, keď x sa rovná -1,25 a y sa rovná -2,1328, ako je znázornené na nasledujúcom grafe.

V tomto je pozorované, že funkcia má inflexný bod:

Inflexný bod

Teraz sa pozrime na ďalší príklad:

y = x 4 – 54 x 2

y, = 4x 3 -108x

y »= 12 x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 a -3

Potom nahradíme dva korene nachádzajúce sa v tretej derivácii:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Keďže výsledok je nenulový, máme dva inflexné body na (3,567) a (-3,567).

Na doplnenie informácií vás pozývame na návštevu článku o skloňovaní, kde sa tomuto pojmu venujeme všeobecnejšie: