Antisymetrická matrica

Antisymetrická matrica

Zrkadlo 1

Antisymetrická matica je štvorcová matica, kde prvky mimo hlavnej uhlopriečky sú symetricky rovnaké, ale prvky pod hlavnou uhlopriečkou nesú záporné znamienko.

Inými slovami, antisymetrická matica je matica, ktorá má rovnaký počet riadkov (n) a stĺpcov (m) a prvky na oboch stranách hlavnej diagonály sú komplementárne.

Keďže prvky nad a pod hlavnou uhlopriečkou sú posunuté, prvky na hlavnej uhlopriečke sú nuly.

Odporúčaný článok: nesymetrická matica a symetrická matica.

Charakteristika antisymetrickej matice

Charakteristiky antisymetrickej matice sú:

  • Štvorcová matica.
  • Symetrická matica + záporné znamienko (-) v prvkoch pod hlavnou diagonálou.
  • Prvky hlavnej uhlopriečky sú nuly (0).

Antisymetrická matrica

Vzhľadom na štvorcovú maticu AS ,

Antisymetrická matica 1
Antisymetrická matrica

Môžeme vidieť, ako sa rovnaké prvky objavujú na oboch stranách hlavnej uhlopriečky, ale s osobitosťou, že prvky pod hlavnou uhlopriečkou majú vpredu záporné znamienko. Taktiež hlavná uhlopriečka je tvorená nulami.

Antisymetrická matica a zrkadlá

Rovnako ako symetrickú maticu, aj antisymetrickú maticu možno chápať na príklade zrkadla.

Zrkadlo 1
Zrkadlo

Ak sa pozrieme na seba do zrkadla a zdvihneme pravú ruku, uvidíme, že osoba v zrkadle zdvihne ľavú. Inými slovami, pohyb zrkadla dopĺňa náš, a preto by súčet oboch viedol k nule.

Vyššie uvedenú myšlienku môžeme vyjadriť nasledovne a vyvodiť z nej:

(Zdvihnite pravú ruku) (Zdvihnite ľavú ruku) = 0

(Zdvihnite pravú ruku) = (Zdvihnite ľavú ruku)

Hlavná uhlopriečka pôsobí ako zrkadlo a na oboch stranách hlavnej uhlopriečky vidíme protichodné prvky. Neutrálna funkcia (=) sa mapuje na hlavnú uhlopriečku.

Nehnuteľnosť

  • Transponovaná matica antisymetrickej matice sa rovná antisymetrickej matici vynásobenej (-1).

Inými slovami, bolo by to ako pridať záporné znamienko pred antisymetrickú maticu.

matematicky,

Vlastnosť antisymetrickej matice 1
Vlastnosť antisymetrickej matice

Vidíme, že oboma postupmi dospejeme k rovnakému výsledku: vykonaním transponovanej matice alebo vynásobením (-1) antisymetrickej matice.

Nesymetrická matica vs Antisymetrická matica vs symetrická matica

Príklad zrkadla v prípade symetrickej matice stačí na to, že odráža rovnaký pohyb, to znamená, že ak zdvihneme ruku, vidíme zdvihnutú ruku, ale nie je potrebné špecifikovať, čo to je. V prípade antisymetrickej matice musíme skontrolovať, ktoré rameno vidíme v zrkadle a určiť, či ide o antisymetrickú maticu.

Ak zdvihneme ruku a v zrkadle uvidíme, že …

  • Rovnaká ruka je zdvihnutá, z pohľadu osoby v zrkadle, potom ide o symetrickú maticu.
  • Opačná ruka je zdvihnutá, z pohľadu osoby v zrkadle ide potom o antisymetrickú matricu.
  • Ak nie je zdvihnutá žiadna ruka alebo je zdvihnutá viac ako jedna, z pohľadu osoby v zrkadle ide o nesymetrickú maticu.

Maticové rozdelenie

  • Priložená matrica
  • Choleský rozklad
  • Hlavná uhlopriečka