Punct de inflexiune

Punctul de inflexiune al unei functii matematice este acel punct in care graficul care o reprezinta isi schimba concavitatea. Adică trece de la a fi concav la a fi convex sau invers.

Punct de inflexiune

Punctul de inflexiune, cu alte cuvinte, este acel moment în care funcția își schimbă tendința.

Pentru a ne face o idee, să începem prin a o privi într-o reprezentare grafică, aproximativ:

Punctul de inflexiune 1 1

Trebuie remarcat faptul că o funcție poate avea mai multe puncte de inflexiune sau poate să nu le aibă deloc. De exemplu, o linie nu are un punct de inflexiune.

Să vedem, în graficul următor, un exemplu de funcție cu mai multe puncte de inflexiune:

Puncte de întoarcere

De asemenea, în termeni matematici, punctul de inflexiune se calculează prin setarea derivatei a doua a funcției egale cu zero. Astfel, rezolvăm rădăcina (sau rădăcinile) acelei ecuații și o vom numi Xi.

Apoi, înlocuim Xi în derivata a treia a funcției. Dacă rezultatul este diferit de zero, ne aflăm în fața unui punct de inflexiune.

Totuși, dacă rezultatul este zero, trebuie să înlocuim în derivatele succesive, până când valoarea acestei derivate, fie că este a treia, a patra sau a cincea, este diferită de 0. Dacă derivata este impară, este un punct de inflexiune , dar daca este chiar nu.

Exemplu de punct de cotitură

În continuare, să ne uităm la un exemplu.

Să presupunem că avem următoarea funcție:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‘= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Apoi, înlocuim Xi în derivata a treia:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Deoarece rezultatul este diferit de zero, ne aflăm în fața unui punct de inflexiune care ar fi atunci când x este egal cu -1,25 și y este egal cu -2,1328, așa cum ilustrăm în graficul următor.

În aceasta se observă că funcția are un punct de inflexiune:

Punct de inflexiune

Acum, să ne uităm la un alt exemplu:

y = x 4 -54x 2

y ‘= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 și -3

Apoi, înlocuim cele două rădăcini găsite în derivata a treia:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Deoarece rezultatul este diferit de zero, avem două puncte de inflexiune la (3.567) și (-3.567).

Pentru a completa informațiile, vă invităm să vizitați articolul de inflexiune, unde acoperim acest concept mai general: