O matrice simetrică este o matrice de ordin n cu același număr de rânduri și coloane în care matricea sa transpusă este egală cu matricea originală.
Cu alte cuvinte, o matrice simetrică este o matrice pătrată și este identică cu matricea după ce a schimbat rândurile cu coloane și coloanele cu rânduri.
Cerințe
Pentru ca orice matrice să fie o matrice simetrică, trebuie să îndeplinească următoarele restricții:
Având în vedere o matrice simetrică P de ordinul n,
- Fii o matrice pătrată .
Numărul de rânduri (n) trebuie să fie același cu numărul de coloane (m). Adică, ordinea matricei trebuie să fie n dat fiind că n = m.
- Matricea originală trebuie să fie egală cu matricea sa transpusă .
Demonstrație:
Proprietăți
- Matricea adjunctă a unei matrice simetrice este, de asemenea, o matrice simetrică.
Demonstrație:
- Adunarea sau scăderea a două matrice simetrice are ca rezultat o altă matrice simetrică.
Demonstrație:
Având în vedere două matrice simetrice P și T de ordinul 3, se obține o altă matrice simetrică S din sumă.
De ce se numește matrice simetrică?
Proprietatea simetriei este dată de elementele din jurul diagonalei principale. Deoarece o matrice pătrată este o matrice simetrică, va avea întotdeauna același număr de elemente deasupra și sub diagonala principală. Aceste elemente sunt aceleași simetric. Adică, diagonala principală acționează ca o oglindă.
Dovada de simetrie și asimetrie a unei matrice
Matricea simetrică
Litera d reprezintă elementele diagonalei principale. Celelalte litere reprezintă orice număr real. Putem observa că diagonala principală acționează ca o oglindă: reflectă elementele pe ambele părți. Cu alte cuvinte, când elementele de pe ambele părți ale diagonalei sunt simetric egale, spunem că matricea P este o matrice simetrică.
Matricea nesimetrică
Matricea X nu este o matrice simetrică, deoarece nu este o matrice pătrată, iar matricea sa transpusă este diferită de matricea originală. In plus, nu are nici diagonala principala.
Matricea nesimetrică