Matrice transpusă

Matrice transpusă

Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.50.28

O matrice transpusă este rezultatul reordonării matricei originale prin schimbarea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rânduri într-o nouă matrice.

Cu alte cuvinte, matricea transpusă este acțiunea de a selecta rândurile din matricea originală și de a le rescrie ca coloane în noua matrice și de a inversa procesul pentru coloane.

În general, când schimbăm rândurile pentru coloane și coloanele pentru rânduri, o indicăm adăugând un superscript T sau un apostrof în numele matricei originale. Dacă adăugăm indicele T, trebuie să avem în vedere că lucrăm cu matrici și că indicele nu este un exponent.

Articol recomandat: operatii cu matrici.

Formula unei matrice transpuse nxm

Având în vedere orice matrice Z cu n rânduri și m coloane, putem construi matricea transpusă, Z T , care va avea m rânduri și n coloane.

Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.29.14
Transpunerea matricei Z.

Transpunerea unei matrice pătrate

Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.29.42
Caz general de transpunere a matricei Z de ordinul 3.

În funcție de tipologia matricei, ordinea matricei se va schimba și atunci când vom face transpunerea acesteia.

Proprietăți

Având în vedere matricea Z de mai sus,

  • Transpunerea unei matrice transpuse este matricea originală.
Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.31.24
  • Suma matricelor transpuse este egală cu suma matricelor transpuse.
Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.31.58
  • Produsul transpus al unei constante h de către o matrice este egal cu produsul constantei h de către matricea transpusă.
Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.32.20
  • Produsul transpus al înmulțirii matricei este egal cu produsul înmulțirii matricei transpuse.
Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.33.05

Aplicații

Matricele transpuse sunt mai prezente decât credem. În econometrie găsim transpoziții atunci când exprimăm matricele în formă pătratică. De asemenea, formula pentru estimatorul de Pătrate Obișnuite (MCO) sub formă de matrice:

Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.33.38
Formula estimatoare MOL sub formă de matrice.

Exemplu teoretic

Găsiți matricea de transpunere a următoarelor matrici:

Captură de ecran 2019 09 11 A Les 18.34.08
Transpunerea matricei.

Diviziunea matricei

  • Matrice obișnuită
  • Matrice inversă de ordinul 2
  • Matricea nesimetrică