O matrice inversă este transformarea liniară a unei matrice prin înmulțirea inversului determinantului matricei cu matricea adjunctă transpusă.
Cu alte cuvinte, o matrice inversă este înmulțirea inversului determinantului cu matricea adjunctă transpusă.
Articole recomandate: determinant al unei matrice, matrice pătrată, diagonală principală și operații cu matrice.
Având în vedere orice matrice X astfel încât
Formula matriceală inversă a unei matrice de ordinul 2
Atunci matricea inversă a lui X va fi
Folosind această formulă obținem matricea inversă a unei matrice pătrate de ordinul 2.
Formula de mai sus poate fi exprimată și prin determinantul matricei.
Formula matriceală inversă a unei matrice de ordinul 2
Cele două drepte paralele în jurul lui X în numitor indică faptul că acesta este determinantul matricei X.
Când o matrice pătrată are o matrice inversă, spunem că este o matrice obișnuită.
Cerințe
Pentru a găsi matricea inversă a unei matrice de ordin n trebuie să îndeplinim următoarele cerințe:
- Matricea trebuie să fie o matrice pătrată.
Numărul de rânduri (n) trebuie să fie același cu numărul de coloane (m). Adică, ordinea matricei trebuie să fie n dat fiind că n = m.
- Determinantul trebuie să fie diferit de zero (0).
Determinantul matricei trebuie să fie diferit de zero (0), deoarece participă la formulă ca numitor. Dacă numitorul ar fi zero (0) am avea o nedeterminare.
Dacă numitorul (ad – bc) = 0, adică determinantul matricei X este egal cu zero (0), atunci matricea X nu are matrice inversă.
Proprietate
O matrice pătrată X de ordin n va avea o matrice inversă X de ordin n, X -1 , astfel încât să satisfacă faptul că
Ordinea elementelor înmulțirii nu este relevantă, adică înmulțirea oricărei matrice pătrate cu matricea sa inversă va rezulta întotdeauna în matricea identității de același ordin.
În acest caz, ordinea matricei X este 2. Deci, putem rescrie proprietatea anterioară ca:
Exemplu practic
Aflați matricea inversă a matricei V.
Pentru a rezolva acest exemplu putem aplica formula sau mai întâi calculam determinantul și apoi îl înlocuim.
Formulă
Formula cu determinant
Mai întâi calculăm determinantul matricei V și apoi îl înlocuim în formulă.
Apoi, obținem că determinantul matricei V este diferit de zero (0) și putem spune că matricea V are o matrice inversă.
Obținem același rezultat folosind formula sau mai întâi calculând determinantul și apoi înlocuindu-l.
Ordinea matricei inverse este aceeași cu ordinea matricei originale. În acest caz, vom avea același număr de rânduri n și coloane m atât în matricea V cât și în V -1 .
Diviziunea matricei