Matrice de identitate

Matrice de identitate

Matrice de identitate

O matrice de identitate sau o unitate de ordin n este o matrice pătrată în care toate elementele sale sunt zerouri (0) minus elementele diagonalei principale care sunt unu (1).

Cu alte cuvinte, o matrice de identitate are doar unu (1) pe diagonala principală și toate celelalte elemente ale matricei cu zerouri (0). În plus, matricea de identitate este recunoscută ca având o formă pătrată, deoarece este o matrice pătrată.

Reprezentarea unei matrice identitare

Captură de ecran 2019 07 25 A Les 11.50.35
Exemple de matrice identitare

Putem crea combinații infinite de matrice unitare atâta timp cât respectăm condiția de a fi o matrice pătrată: având același număr de rânduri (n) și coloane (m).

Proprietăți

Când efectuăm operații cu matricea unitară nu ar trebui să ne enervăm. Trebuie să ne gândim la matricea identității ca fiind numărul unu (1).

Numărul 1

  • Când înmulțim cu unul (1) orice alt număr, rămânem cu același număr ( neutralitate ). Având în vedere o constantă z sau scalară oricare:
Captură de ecran 2019 07 25 A Les 11.53.12
Efect neutru al înmulțirii unei constante cu numărul unu (1).
  • Dacă facem inversul numărului unu (1), vom obține același număr unu (1) ( invertibil ).
Captură de ecran 2019 07 25 La orele 11.54.00
Efect neutru de a face inversul numărului unu (1).
  • Când ridicăm numărul unu (1) h unități, vom avea întotdeauna numărul unu (1) ( idempotity ).
Captură de ecran 2019 07 25 A Les 11.54.06
Efect neutru al ridicării numărului unu (1) la o constantă h.

Matrice de identitate

  • Neutralitate Când matricea unitară participă la o multiplicare de matrice, se numește produs neutru. Având în vedere orice matrice Z:
Captură de ecran 2019 07 25 A Les 11.54.11
Efect neutru al înmulțirii matricei de identitate cu orice matrice.
  • Reversibila . Matricea inversă a matricei unităților este matricea identității:
Captură de ecran 2019 07 25 A Les 11.54.17
Efect neutru al inversării matricei identitare.
  • Idempotenta . Matricea inversă crescută h unități (număr natural) este încă matricea unităților:
Captură de ecran 2019 07 25 A Les 11.54.22
Efectul neutru al creșterii matricei de identitate cu h unități.

Procedura de identificare a unei matrice de identitate

  1. Matricea trebuie să fie o matrice pătrată.
  2. Matricea trebuie să aibă uni (1) pe diagonala principală și zerouri (0) în celelalte poziții.

Aplicații

Matricea de identitate participă de câte ori participă numărul unu (1) la algebră. De exemplu, atunci când înmulțim orice matrice cu matricea sa inversă, vom obține matricea unitară.

Exemplu teoretic

Următoarele matrici sunt matrici identitare?

Captură de ecran 2019 07 25 A Les 11.54.31
Exemple de matrice identitare și matrice non-identitară.

Matricea IA:

  • Matrice pătrată.
  • Matricea nonidentitară: pe diagonala principală există un număr altul decât unu (1) iar în celelalte poziții există un alt număr decât zero (0).

Matricea IB:

  • Nu matrice pătrată.
  • Fără matrice de identitate.

Matricea IC:

  • Nu matrice pătrată.
  • Fără matrice de identitate.

ID matrice:

  • Matrice pătrată.
  • Matricea identității: în diagonala principală sunt unele (1), iar în celelalte poziții sunt zerouri (0).

Matricea IE:

  • Matrice pătrată.
  • Fără matrice de identitate: deși în celelalte poziții sunt zerouri (0), în diagonala principală există un alt număr decât unu (1).

Diviziunea matricei

  • Matrice pătrată
  • Descompunerea Cholesky
  • Matrice antisimetrică