Matrice antisimetrică

Matrice antisimetrică

Oglindă 1

O matrice antisimetrică este o matrice pătrată în care elementele din afara diagonalei principale sunt simetric egale, dar cele de sub diagonala principală poartă un semn negativ.

Cu alte cuvinte, o matrice antisimetrică este o matrice care are același număr de rânduri (n) și coloane (m), iar elementele de pe ambele părți ale diagonalei principale sunt complementare.

Deoarece elementele de deasupra și de sub diagonala principală sunt compensate, elementele de pe diagonala principală sunt zerouri.

Articol recomandat: matrice nesimetrică și matrice simetrică.

Caracteristicile matricei antisimetrice

Caracteristicile unei matrice antisimetrice sunt:

  • Matrice pătrată.
  • Matrice simetrică + semn negativ (-) în elementele de sub diagonala principală.
  • Elementele diagonalei principale sunt zerouri (0).

Matrice antisimetrică

Având în vedere o matrice pătrată AS ,

Matricea antisimetrică 1
Matrice antisimetrică

Putem vedea cum aceleași elemente apar pe ambele părți ale diagonalei principale, dar cu particularitatea că elementele de sub diagonala principală au semn negativ în față. De asemenea, diagonala principală este formată din zerouri.

Matricea antisimetrică și oglinzile

În același mod ca și matricea simetrică, matricea antisimetrică poate fi înțeleasă și prin exemplul oglinzii.

Oglindă 1
Oglindă

Dacă ne privim în oglindă și ridicăm brațul drept, vom vedea că persoana din oglindă ridică brațul stâng. Cu alte cuvinte, mișcarea oglinzii o completează pe a noastră și, prin urmare, suma ambelor ar rezulta zero.

Putem exprima ideea de mai sus după cum urmează și deducem:

(Ridicați mâna dreaptă) (Ridicați mâna stângă) = 0

(Ridica mana dreapta ) = (Ridica mana stanga )

Diagonala principală acționează ca o oglindă și vedem elemente opuse pe ambele părți ale diagonalei principale. Funcția neutră (=) se mapează la diagonala principală.

Proprietate

  • Matricea transpusă a unei matrice antisimetrice este egală cu matricea antisimetrică înmulțită cu (-1).

Cu alte cuvinte, ar fi ca și cum ați adăuga un semn negativ în fața matricei antisimetrice.

Din punct de vedere matematic,

Proprietatea matricei antisimetrice 1
Proprietatea matricei antisimetrice

Putem vedea că cu ambele proceduri ajungem la același rezultat: realizarea matricei transpuse sau înmulțirea cu (-1) a matricei antisimetrice.

Matrice nesimetrică vs Matrice antisimetrică vs Matrice simetrică

Exemplul oglinzii în cazul matricei simetrice este suficient pentru a reflecta aceeași mișcare, adică dacă ridicăm un braț, putem vedea un braț ridicat, dar nu este necesar să precizăm ce este. În cazul matricei antisimetrice, trebuie să verificăm ce braț vedem în oglindă și să stabilim dacă este o matrice antisimetrică.

Dacă ridicăm un braț și în oglindă vedem că…

  • Același braț este ridicat, din punctul de vedere al persoanei din oglindă, atunci este o matrice simetrică.
  • Bratul opus este ridicat, din punctul de vedere al persoanei din oglinda, atunci este o matrice antisimetrica.
  • Daca nu se ridica niciun brat sau se ridica mai mult de unul, din punctul de vedere al persoanei din oglinda, atunci este o matrice nesimetrica.

Diagonala principală

  • Diviziunea matricei
  • Descompunerea Cholesky
  • Determinant al unei matrice