Ponto de inflexão

O ponto de inflexão de uma função matemática é aquele ponto no qual o gráfico que a representa muda sua concavidade. Ou seja, passa de côncavo para convexo, ou vice-versa.

Ponto de inflexão

O ponto de inflexão, em outras palavras, é aquele momento em que a função muda de tendência.

Para se ter uma ideia, vamos começar olhando para ele em uma representação gráfica, mais ou menos:

Ponto de Inflexão 1 1

Deve-se observar que uma função pode ter mais de um ponto de inflexão ou não ter. Por exemplo, uma linha não possui um ponto de inflexão.

Vejamos, no gráfico a seguir, um exemplo de função com mais de um ponto de inflexão:

Pontos de virada

Além disso, em termos matemáticos, o ponto de inflexão é calculado definindo a segunda derivada da função igual a zero. Assim, resolvemos pela raiz (ou raízes) dessa equação e a chamaremos de Xi.

Em seguida, substituímos Xi na terceira derivada da função. Se o resultado for diferente de zero, estamos diante de um ponto de inflexão.

Porém, se o resultado for zero, devemos substituir nas derivadas sucessivas, até que o valor desta derivada, seja a terceira, quarta ou quinta, seja diferente de 0. Se a derivada for ímpar, é um ponto de inflexão, mas se for mesmo não.

Exemplo de ponto de viragem

A seguir, vamos ver um exemplo.

Suponha que temos a seguinte função:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‘= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Em seguida, substituímos Xi na terceira derivada:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Como o resultado é diferente de zero, nos encontramos diante de um ponto de inflexão que seria quando x fosse igual a -1,25 ey igual a -2,1328, conforme ilustramos no gráfico a seguir.

Nisto observa-se que a função possui um ponto de inflexão:

Ponto de inflexão

Agora, vejamos outro exemplo:

y = x 4 -54x 2

y ‘= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 e -3

Em seguida, substituímos as duas raízes encontradas na terceira derivada:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Como o resultado é diferente de zero, temos dois pontos de inflexão em (3.567) e (-3.567).

Para complementar as informações, convidamos você a visitar o artigo de inflexão, onde abordamos este conceito de forma mais geral: