Uma matriz simétrica é uma matriz de ordem n com o mesmo número de linhas e colunas onde sua matriz transposta é igual à matriz original.
Em outras palavras, uma matriz simétrica é uma matriz quadrada e é idêntica à matriz após ter trocado linhas por colunas e colunas por linhas.
Requisitos
Para que qualquer matriz seja simétrica, ela deve atender às seguintes restrições:
Dada uma matriz simétrica P de ordem n,
- Seja uma matriz quadrada .
O número de linhas (n) deve ser igual ao número de colunas (m). Ou seja, a ordem da matriz deve ser n, dado que n = m.
- A matriz original deve ser igual à sua matriz transposta .
Demonstração:
Propriedades
- A matriz adjunta de uma matriz simétrica também é uma matriz simétrica.
Demonstração:
- A adição ou subtração de duas matrizes simétricas resulta em outra matriz simétrica.
Demonstração:
Dadas duas matrizes simétricas P e T de ordem 3, obtemos outra matriz simétrica S a partir da soma.
Por que é chamada de matriz simétrica?
A propriedade de simetria é dada pelos elementos ao redor da diagonal principal. Como uma matriz quadrada é uma matriz simétrica, ela sempre terá o mesmo número de elementos acima e abaixo da diagonal principal. Esses elementos são iguais simetricamente. Ou seja, a diagonal principal atua como um espelho.
Prova de simetria e assimetria de uma matriz
Matriz simétrica
A letra d representa os elementos da diagonal principal. As outras letras representam qualquer número real. Podemos ver que a diagonal principal atua como um espelho: ela reflete os elementos de ambos os lados. Em outras palavras, quando os elementos de ambos os lados da diagonal são simetricamente iguais, dizemos que a matriz P é uma matriz simétrica.
Matriz não simétrica
A matriz X não é uma matriz simétrica, pois não é uma matriz quadrada e sua matriz transposta é diferente da matriz original. Além disso, também não possui diagonal principal.
Matriz não simétrica