Uma matriz não simétrica é uma matriz não quadrada em que os elementos da matriz transposta estão em posições diferentes dos elementos da matriz original.
Em outras palavras, a matriz não simétrica é uma matriz onde o número de linhas (n) é diferente do número de colunas (m) e a transposta da matriz é diferente da matriz original.
É importante não confundir matrizes não simétricas com matrizes anti-simétricas, uma vez que são conceitos muito diferentes e se referem a diferentes elementos dentro da matriz.
Para que uma matriz seja simétrica, ela deve ser uma matriz quadrada e deve ser igual à sua matriz transposta. Em outras palavras, que o número de linhas (n) seja igual ao número de colunas (m) e que os elementos da matriz não mudem uma vez que as linhas tenham sido alteradas pelas colunas.
Matematicamente, o conceito de simetria significa que, aplicando a operação de transposição, os elementos da matriz não serão alterados.
A matriz simétrica e espelhos
Compreenderemos melhor o conceito de matriz não simétrica se pensarmos no efeito que um espelho produz.
Se olharmos no espelho, veremos nosso rosto refletido; se levantarmos a mão, a mão também se levantará no espelho. Da mesma forma que, se fizermos algum gesto, aparecerá o mesmo gesto refletido.
Bem, o mesmo acontece com a diagonal principal de uma matriz simétrica. Os itens abaixo ou acima da diagonal principal serão os mesmos. Ou seja, a diagonal principal de uma matriz simétrica atua como um espelho dos elementos ao seu redor.
Dada uma matriz simétrica S ,
A matriz transposta S teria a seguinte forma:
Para mais informações sobre suas propriedades matemáticas, consulte o artigo sobre matriz simétrica.
A matriz não simétrica e espelhos
No caso da matriz não simétrica, é como se o espelho se quebrasse.
E quando um espelho é quebrado, ele não reflete bem os elementos à sua frente. Podemos levantar a mão direita e ver que quatro mãos são levantadas ou nenhuma é levantada.
Então, aplicando a mesma lógica, a matriz não simétrica é sobre não ter os mesmos elementos acima ou abaixo da diagonal principal e também que eles não são iguais.
Tal que:
Nesta matriz não encontramos a diagonal principal e, portanto, não há simetria no número de elementos. Além disso, se transpormos a matriz anterior, veremos que ela não retém seu estado original.
A matriz NS transposta teria a seguinte forma:
Resumo
Quando nos deparamos com o conceito de matriz não simétrica, basta pensar na matriz simétrica e colocar uma negação diante de suas características. Ou seja, uma matriz não simétrica será tal que satisfaça:
- Matriz não quadrada.
- Matriz transposta é igual a matriz original.
Pode parecer fácil lembrar o que é uma matriz não simétrica, mas quando trabalhamos com matrizes anti-simétricas às vezes confundimos os conceitos.
Matriz anti-simétrica