Matriz anti-simétrica

Matriz anti-simétrica

Espelho 1

Uma matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada onde os elementos fora da diagonal principal são simetricamente iguais, mas aqueles abaixo da diagonal principal carregam um sinal negativo.

Em outras palavras, uma matriz anti-simétrica é uma matriz que possui o mesmo número de linhas (n) e colunas (m) e os elementos em ambos os lados da diagonal principal são complementares.

Como os elementos acima e abaixo da diagonal principal são deslocados, os elementos da diagonal principal são zeros.

Artigo recomendado: matriz não simétrica e matriz simétrica.

Características da matriz anti-simétrica

As características de uma matriz anti-simétrica são:

  • Matriz quadrada.
  • Matriz simétrica + sinal negativo (-) nos elementos abaixo da diagonal principal.
  • Os elementos da diagonal principal são zeros (0).

Matriz anti-simétrica

Dada uma matriz quadrada AS ,

Matriz anti-simétrica 1
Matriz anti-simétrica

Podemos ver como os mesmos elementos aparecem em ambos os lados da diagonal principal, mas com a particularidade de que os elementos abaixo da diagonal principal possuem um sinal negativo na frente. Além disso, a diagonal principal é composta por zeros.

A matriz anti-simétrica e os espelhos

Da mesma forma que a matriz simétrica, a matriz antissimétrica também pode ser compreendida através do exemplo do espelho.

Espelho 1
Espelho

Se nos olharmos no espelho e levantarmos o braço direito, veremos que a pessoa no espelho levanta o braço esquerdo. Ou seja, o movimento do espelho complementa o nosso e, portanto, a soma de ambos resultaria em zero.

Podemos expressar a ideia acima da seguinte forma e deduzir:

(Levante a mão direita ) (Levante a mão esquerda ) = 0

(Levante a mão direita ) = (Levante a mão esquerda )

A diagonal principal atua como um espelho e vemos elementos opostos em ambos os lados da diagonal principal. A função neutra (=) mapeia para a diagonal principal.

Propriedade

  • A matriz transposta de uma matriz anti-simétrica é igual à matriz anti-simétrica multiplicada por (-1).

Em outras palavras, seria como adicionar um sinal negativo na frente da matriz anti-simétrica.

Matematicamente,

Propriedade de matriz anti-simétrica 1
Propriedade da matriz anti-simétrica

Podemos ver que com os dois procedimentos chegamos ao mesmo resultado: fazendo a matriz transposta ou multiplicando por (-1) a matriz antissimétrica.

Matriz não simétrica vs matriz anti-simétrica vs matriz simétrica

O exemplo do espelho no caso da matriz simétrica é suficiente para que reflita o mesmo movimento, ou seja, se levantarmos um braço, podemos ver um braço levantado, mas não é necessário especificar o que é. No caso da matriz anti-simétrica, precisamos verificar qual braço vemos no espelho e determinar se é uma matriz anti-simétrica.

Se levantamos o braço e no espelho vemos que …

  • O mesmo braço é levantado, do ponto de vista da pessoa no espelho, então é uma matriz simétrica.
  • O braço oposto é levantado, do ponto de vista da pessoa no espelho, então é uma matriz anti-simétrica.
  • Se nenhum braço é levantado ou mais de um é levantado, do ponto de vista da pessoa no espelho, então é uma matriz não simétrica.

Diagonal principal

  • Divisão matricial
  • Determinante de uma matriz
  • Decomposição de Cholesky