Lei dos grandes números

A lei dos grandes números é um teorema fundamental da teoria da probabilidade que indica que se repetirmos muitas vezes (tendendo ao infinito) o mesmo experimento, a frequência de um determinado evento acontecendo tende a ser uma constante.

Lei dos grandes números

Ou seja, a lei dos grandes números indica que se o mesmo teste for realizado repetidamente (por exemplo, jogar uma moeda, jogar uma roda de roleta, etc.), a frequência com que um determinado evento se repetirá (isso dá cara ou selo, o número 3 sai preto, etc) se aproximará de uma constante. Essa, por sua vez, será a probabilidade desse evento ocorrer.

Origem da lei dos grandes números

A lei dos grandes números foi mencionada pela primeira vez pelo matemático Gerolamo Cardamo, embora sem qualquer prova rigorosa. Posteriormente, Jacob Bernoulli conseguiu fazer uma demonstração completa em sua obra "Ars Conjectandi" em 1713. Na década de 1830 o matemático Siméon Denis Poisson descreveu em detalhes a lei dos grandes números, que veio aperfeiçoar a teoria. Outros autores também fariam contribuições posteriores.

Exemplo da lei dos grandes números

Suponha o seguinte experimento: lance um dado comum. Agora vamos considerar o evento em que obtemos o número 1. Como sabemos, a probabilidade de que o número 1 apareça é 1/6 (o dado tem 6 faces, uma delas é uma).

O que a lei dos grandes números nos diz? Diz-nos que à medida que aumentamos o número de repetições da nossa experiência (fazemos mais lançamentos do dado), a frequência com que o evento se repetirá (obtemos 1) ficará mais próxima de uma constante, que terá uma igual valor à sua probabilidade (1/6 ou 16,66%).

Possivelmente, nos primeiros 10 ou 20 lançamentos, a frequência com que conseguirmos 1 não será de 16%, mas de outro percentual como 5% ou 30%. Mas, à medida que fazemos mais e mais tons (digamos 10.000), a frequência com que o 1 aparece será muito próxima a 16,66%.

No gráfico a seguir, vemos um exemplo de um experimento real em que um dado é jogado repetidamente. Aqui podemos ver como a frequência relativa de desenho de um certo número está mudando.

Conforme indicado pela lei dos grandes números, nos primeiros lançamentos a frequência é instável, mas à medida que aumentamos o número de lançamentos a frequência tende a se estabilizar em um determinado número, que é a probabilidade de o evento ocorrer (neste caso, os números de 1 a 6, uma vez que é o lançamento de um dado).

Interpretação errada da lei dos grandes números

Muitas pessoas interpretam mal a lei dos grandes números, acreditando que um evento tende a ser mais importante do que outro. Assim, por exemplo, eles acreditam que uma vez que a probabilidade de que o número 1 role no lançamento de um dado deve ser próxima a 1/6, quando o número 1 não aparece nos primeiros 2 ou 5 lançamentos, é muito provável que aparecerá no próximo. Isso não é verdade, já que a lei dos grandes números só se aplica a muitas repetições, então podemos passar o dia todo jogando um dado e não atingir a frequência de 1/6.

O lançamento de um dado é um evento independente e, portanto, quando um determinado número aparece, este resultado não afeta o próximo lançamento. Somente depois de milhares de repetições seremos capazes de verificar que a lei dos grandes números existe e que a frequência relativa de obtenção de um número (em nosso exemplo 1) será de 1/6.

A má interpretação da teoria pode levar as pessoas (especialmente os jogadores) a perder dinheiro e tempo.