Determinante de uma matriz

O determinante de uma matriz de dimensão mxn é o resultado da subtração da multiplicação dos elementos da diagonal principal com a multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

Determinante de uma matriz

Em outras palavras, o determinante de uma matriz 2 × 2 é obtido desenhando um X sobre seus elementos. Primeiro, desenhamos a diagonal que começa no topo do lado esquerdo do X (diagonal principal). Em seguida, desenhamos a diagonal que começa no topo do lado direito do X (diagonal secundária).

Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos que sua dimensão tenha o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Portanto, m = n . A dimensão de uma matriz é representada como a multiplicação da dimensão da linha com a dimensão da coluna.

Existem outras maneiras mais complexas de calcular o determinante de uma matriz com uma dimensão maior que 2 × 2. Essas formas são conhecidas como regra de Laplace e regra de Sarrus.

O determinante pode ser indicado de duas maneiras:

  • Det ( Z )
  • | Z mxn |

Chamamos (m) para a dimensão das linhas e (n) para a dimensão das colunas. Portanto, uma matriz m x n terá m linhas en colunas:

  • i representa cada uma das linhas de uma matriz Z mxn .
  • j representa cada uma das colunas de uma matriz Z mxn .

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Propriedades dos determinantes

  1. | Z mxn | é igual ao determinante de uma matriz transposta Z mxn :
Determinante de uma Matriz de Propriedade 1
  • O determinante inverso de uma matriz Z mxn invertível é igual ao determinante de uma matriz Z mxn inversa:
Determinante de uma Matriz de Propriedade 2
  • O determinante de uma matriz singular S mxn (não invertível) é 0.

S mxn = 0

  • | Z mxn |, onde m = n, multiplicado por qualquer constante h é:
Determinante de uma Matriz de Propriedade 4
  • O determinante do produto de duas matrizes Z mxn e X mxn , onde m = n, é igual ao produto dos determinantes de Z mxn e X mxn
Determinante de uma Matriz de Propriedade 5

Exemplo prático

Matriz de dimensão 2 × 2

Uma matriz de dimensão 2 × 2 tem como determinante a subtração do produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos da diagonal secundária.

Definimos Z 2 × 2 como:

Exemplo determinante de uma matriz 1

O cálculo de seu determinante seria:

Exemplo Determinante 2

Exemplo de cálculo do determinador

Exemplo Prático Determinante 3

O determinante da matriz X 2 × 2 é 14.

Exemplo Prático Determinante 4

O determinante da matriz G 2 × 2 é 0.