Convexidade de um vínculo

A convexidade de um título é a inclinação da curva que relaciona preço e lucratividade. Mede a mudança na duração do título como resultado de uma mudança na lucratividade.

Convexidade de um vínculo

Matematicamente, é expresso como a segunda derivada da curva de preço-lucratividade. A fórmula é a seguinte:

A variação do preço de um título em caso de alteração das taxas de juro é a soma da variação provocada pela duração modificada e da variação provocada pela convexidade do título.

Se a convexidade de um título for igual a 100, o preço do título sofrerá variação de 1% a mais a cada 1% de variação nas taxas de juros, além do calculado pelo duration. Se a convexidade de um título for igual a zero, o preço do título irá variar com as mudanças nas taxas de juros pelo valor motivado pela duração do título.

Convexidade da relação de um vínculo e duração de um vínculo

A convexidade de um título nos oferece uma medida muito mais precisa das mudanças de preço-retorno de um título. A duração de um título pressupõe que a relação entre preço e retorno seja constante. No entanto, a realidade é muito diferente. Portanto, em face de pequenas variações de preço-lucratividade, a duração é uma medida aceitável. Mas para variações maiores, o cálculo da convexidade torna-se essencial.

Matematicamente, pode parecer um termo um tanto abstrato. Visto que graficamente é muito mais fácil de entender, vamos ver representado. Nos dois gráficos a seguir, vemos representados tanto a duração quanto a convexidade.

Quanto mais baixo for o rendimento do título, maior será o seu preço. E vice-versa, quanto maior a lucratividade do título, menor seu preço. Claro, o preço não muda na mesma proporção se sua lucratividade muda de 10 a 12% como se ela mudasse de 1 a 2%. Isso é o que a convexidade leva em consideração. A duração pressupõe que a mudança no preço é sempre a mesma. Enquanto a convexidade leva em conta que a variação do preço não é constante. A diferença entre a linha azul e a linha laranja é a própria convexidade. A linha laranja é a variação do preço do título levando em consideração a duração. Por fim, a linha azul representa a variação do preço do título levando em consideração a duração e a convexidade.

Exemplo de convexidade de uma ligação

Temos um título com vencimento em 10 anos. O cupão é de 7% e a obrigação tem o valor facial de 100 euros. A TIR do mercado é de 5%. O que significa que títulos com características semelhantes estão oferecendo um retorno de 5%. Ou o que é o mesmo 2% a menos. O pagamento do cupom é anual.

Se o rendimento do título vai de 7% a 5%, quanto o preço do título muda? Para calcular a variação que o preço teria em caso de alteração da taxa de juros, precisaremos das seguintes fórmulas:

Cálculo do preço do título:

Cálculo da duração do bônus:

Cálculo da duração modificada:

Cálculo da convexidade:

Cálculo da variação da duração:

Cálculo da variação da convexidade:

Cálculo da variação do preço do título:

Baixe a tabela do Excel para ver todos os cálculos detalhados

Usando as fórmulas mencionadas acima, obtemos os seguintes dados:

Preço do título = 115,44

Duração = 7,71

Duração modificada = 7,34

Convexidade = 69,73

A variação de preço face a uma queda de 2% na rentabilidade do título é de + 14,68% considerando o duration. A variação do preço do título levando em consideração a convexidade é de + 1,39%. Para obter a variação total do preço, devemos somar as duas variações. O cálculo mostra que, diante de uma queda de 2% nesse título, o preço aumentaria 16,07%.