Ułamki algebraiczne

Ułamki algebraiczne to te, które można przedstawić jako iloraz dwóch wielomianów, czyli jako podział między dwoma wyrażeniami algebraicznymi, które zawierają liczby i litery.

Ułamki algebraiczne

Należy zauważyć, że zarówno licznik, jak i mianownik ułamka algebraicznego mogą zawierać dodawanie, odejmowanie, mnożenie, a nawet potęgowanie.

Inną kwestią, o której należy pamiętać, jest to, że wynik ułamka algebraicznego musi istnieć, więc mianownik musi być niezerowy.

Oznacza to, że spełniony jest następujący warunek, gdzie A (x) i B (x) są wielomianami tworzącymi ułamek algebraiczny:

Obraz 469

Niektóre przykłady ułamków algebraicznych mogą być następujące:

Obraz 471

Równoważne ułamki algebraiczne

Dwa ułamki algebraiczne są równoważne, gdy spełnione są następujące warunki:

Obraz 472

Oznacza to, że wynik obu ułamków jest taki sam, a ponadto iloczyn licznika pierwszego ułamka przez mianownik drugiego jest równy iloczynowi mianownika pierwszego ułamka przez licznik drugiego.

Musimy wziąć pod uwagę, że aby skonstruować ułamek równoważny temu, który już mamy, możemy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik przez tę samą liczbę lub przez to samo wyrażenie algebraiczne. Na przykład, jeśli mamy następujące ułamki:

Obraz 473
Obraz 474

Weryfikujemy, czy obie frakcje są równoważne i można również zauważyć, co następuje:

Obraz 475

To znaczy, jak wspomnieliśmy wcześniej, gdy pomnożymy licznik i mianownik przez to samo wyrażenie algebraiczne, otrzymamy równoważny ułamek algebraiczny.

Rodzaje ułamków algebraicznych

Frakcje można podzielić na:

  • Proste: są to te, które zaobserwowaliśmy w całym artykule, gdzie ani licznik, ani mianownik nie zawierają innego ułamka.
  • Złożone: licznik i / lub mianownik zawierają inny ułamek. Przykładem może być:
Obraz 476

Inny sposób klasyfikacji ułamków algebraicznych jest następujący:

  • Racjonalny: Kiedy zmienna jest podnoszona do potęgi, która nie jest ułamkiem (jak przykłady, które widzieliśmy w tym artykule).
  • Irracjonalne: Kiedy zmienna jest podnoszona do potęgi, która jest ułamkiem, tak jak w następującym przypadku:
Ułamek irracjonalny 1

W tym przykładzie moglibyśmy zracjonalizować ułamek, zastępując zmienną inną, która pozwala nam nie mieć ułamków jako potęg. Więc jeśli x 1/2 = y i zamienimy w równaniu otrzymamy:

Obraz 480

Chodzi o to, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność indeksów pierwiastków, która w tym przypadku wynosi 1/2 (1 * 1/2). Więc jeśli mamy następujące irracjonalne równanie:

Obraz 482

Najpierw musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność indeksów pierwiastków, która będzie wynosić: 2 * 5 = 10. Tak więc będziemy mieli zmienną y = x 1/10 . Jeśli zastąpimy w ułamku, otrzymamy teraz ułamek wymierny:

Ułamek irracjonalny