Największy wspólny dzielnik (GCF)

Największy wspólny dzielnik (GCF)

Największy wspólny dzielnik

Największy wspólny dzielnik (GCF) to największa liczba, przez którą można podzielić dwie lub więcej liczb. To bez pozostawiania śladów.

Oznacza to, że największy wspólny dzielnik lub GCF to najwyższa liczba, przez którą można podzielić zbiór liczb, dając w wyniku liczbę całkowitą.

Dzielnik można formalnie zdefiniować jako liczbę, która jest zawarta w innej dokładnie n razy.

Należy zauważyć, że liczby, na których oblicza się GCF, muszą być różne od zera.

Aby to lepiej wyjaśnić, spójrzmy na przykład. Załóżmy, że mamy 35 i 15. W ten sposób obserwujemy, jakie są dzielniki każdego z nich:

  • Dzielniki 35 → 35,7,5,1
  • Dzielniki 15 → 15,5,3,1

Dlatego największym wspólnym dzielnikiem 35 i 15 jest 5.

Warto wspomnieć, że jeśli wspólnymi dzielnikami dwóch liczb są tylko 1 i -1, nazywa się je „pierwszymi w stosunku do siebie”.

Metody obliczania największego wspólnego dzielnika

Możemy wyróżnić następujące trzy metody obliczania największego wspólnego dzielnika:

  • Rozkład na czynniki pierwsze: Liczby są rozkładane na liczby pierwsze. Następnie, aby obliczyć GCF, bierzemy wspólne liczby podniesione do najniższej potęgi. Załóżmy na przykład, że mamy 216 i 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Zatem największym wspólnym dzielnikiem między obiema liczbami będzie: (2 ^ 2) * 3 = 12

Załóżmy teraz, że mamy trzy elementy: 315, 441 i 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Następnie, po ich zdezagregowaniu, biorąc każdy dzielnik o najniższej potędze, wynik byłby następujący:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

  • Algorytm euklidesowej: Dzieląc B, otrzymujemy c iloraz i R. Tak więc, największy wspólny dzielnik a i b jest taka sama, jak w przypadku B i R. To, biorąc pod uwagę następujące: a = bc + r . Aby lepiej to zrozumieć, zastosujmy tę metodę do przykładu pokazanego wcześniej z 216 i 156.

216/156 = 1 z resztą 60

teraz dzielimy 156/60 = 2 z resztą 36

Ponownie dzielimy 60/36 = 1 z resztą 24

Jeszcze raz dzielimy 36/24 = 1 z resztą 12

I na koniec dzielimy 24/12 = 2 z resztą 0

Dlatego największym wspólnym dzielnikiem jest 12. Jak widać, musimy dzielić, aż reszta wyniesie 0, a ostatnim dzielnikiem będzie GCF.

  • Na podstawie najmniejszej wspólnej wielokrotności : liczby są mnożone, a wynik dzielony przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM).
Mcd 1

Musimy pamiętać, że najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) to najmniejsza liczba spełniająca warunek bycia wielokrotnością wszystkich elementów zbioru liczb.

Oznacza to, że wracając do tego samego przykładu, możemy rozłożyć w następujący sposób:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) i 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

Najmniejsza wspólna wielokrotność to: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

Tak więc: NWD = 216 * 156 / 2,808 = 12

Należy wspomnieć, że ta metoda działa tylko dla dwóch liczb.

Zbiory numeryczne

  • Prawo wielkich liczb
  • Logarytm
  • Maksimum (matematyka)