Matryca symetryczna

Macierz symetryczna to macierz rzędu n o tej samej liczbie wierszy i kolumn, gdzie jej macierz transponowana jest równa macierzy pierwotnej.

Innymi słowy, macierz symetryczna jest macierzą kwadratową i jest identyczna z macierzą po zamianie wierszy na kolumny i kolumn na wiersze.

Wymagania

Aby jakakolwiek macierz była macierzą symetryczną, musi spełniać następujące ograniczenia:

Mając symetryczną macierz P rzędu n,

• Bądź macierzą kwadratową .

Liczba rzędów (n) musi być taka sama jak liczba kolumn (m). Oznacza to, że rząd macierzy musi być n przy założeniu, że n = m.

• Oryginalna macierz musi być równa macierzy transponowanej .

Demonstracja:

Nieruchomości

• Matryca sprzężona macierzy symetrycznej jest również macierzą symetryczną.

Demonstracja:

• Dodawanie lub odejmowanie dwóch macierzy symetrycznych daje w wyniku kolejną macierz symetryczną.

Demonstracja:

Mając dwie symetryczne macierze P i T rzędu 3, otrzymujemy z sumy kolejną symetryczną macierz S.

Dlaczego nazywa się to macierzą symetryczną?

Własność symetrii jest podana przez elementy wokół głównej przekątnej. Ponieważ macierz kwadratowa jest macierzą symetryczną, zawsze będzie miała taką samą liczbę elementów powyżej i poniżej głównej przekątnej. Te elementy są takie same symetrycznie. Oznacza to, że główna przekątna działa jak lustro.

Dowód symetrii i skośności macierzy

Matryca symetryczna

Litera d reprezentuje elementy głównej przekątnej. Pozostałe litery reprezentują dowolną liczbę rzeczywistą. Widzimy, że główna przekątna działa jak lustro: odbija elementy po obu stronach. Innymi słowy, gdy elementy po obu stronach przekątnej są symetrycznie równe, mówimy, że macierz P jest macierzą symetryczną.

Macierz niesymetryczna

Macierz X nie jest macierzą symetryczną, ponieważ nie jest macierzą kwadratową, a jej macierz transponowana różni się od macierzy oryginalnej. Ponadto nie ma też głównej przekątnej.