Matryca antysymetryczna

Matryca antysymetryczna

Lustro 1

Macierz antysymetryczna to macierz kwadratowa, w której elementy znajdujące się poza główną przekątną są symetrycznie równe, ale znajdujące się poniżej głównej przekątnej mają znak ujemny.

Innymi słowy, macierz antysymetryczna to macierz, która ma taką samą liczbę rzędów (n) i kolumn (m), a elementy po obu stronach głównej przekątnej są komplementarne.

Ponieważ elementy powyżej i poniżej głównej przekątnej są przesunięte, elementy na głównej przekątnej są zerami.

Polecany artykuł: macierz niesymetryczna i macierz symetryczna.

Charakterystyka macierzy antysymetrycznej

Cechy macierzy antysymetrycznej to:

  • Macierz kwadratowa.
  • Macierz symetryczna + znak minus (-) w elementach poniżej głównej przekątnej.
  • Elementami głównej przekątnej są zera (0).

Matryca antysymetryczna

Biorąc pod uwagę macierz kwadratową AS ,

Matryca antysymetryczna 1
Matryca antysymetryczna

Możemy zobaczyć, jak te same elementy pojawiają się po obu stronach głównej przekątnej, ale z tą różnicą, że elementy poniżej głównej przekątnej mają z przodu znak minus. Ponadto główna przekątna składa się z zer.

Antysymetryczna matryca i lustra

Podobnie jak matryca symetryczna, również matrycę antysymetryczną można zrozumieć na przykładzie lustra.

Lustro 1
Lustro

Jeśli spojrzymy na siebie w lustrze i podniesiemy prawą rękę, zobaczymy, że osoba w lustrze podnosi lewą rękę. Innymi słowy, ruch lustra uzupełnia nasz, a zatem suma obu dałaby zero.

Możemy wyrazić powyższą ideę w następujący sposób i wywnioskować:

(Podnieś prawą rękę) (Podnieś lewą rękę) = 0

(Podnieś prawą rękę) = (Podnieś lewą rękę)

Główna przekątna działa jak lustro i widzimy przeciwstawne elementy po obu stronach głównej przekątnej. Funkcja neutralna (=) odwzorowuje główną przekątną.

Nieruchomość

  • Transponowana macierz macierzy antysymetrycznej jest równa macierzy antysymetrycznej pomnożonej przez (-1).

Innymi słowy, byłoby to jak dodanie znaku minusa przed macierzą antysymetryczną.

Matematycznie,

Matryca antysymetryczna Właściwość 1
Własność macierzy antysymetrycznej

Widzimy, że obie procedury dochodzą do tego samego rezultatu: wykonanie macierzy transponowanej lub pomnożenie przez (-1) macierzy antysymetrycznej.

Macierz niesymetryczna vs macierz antysymetryczna vs macierz symetryczna

Przykład lustra w przypadku matrycy symetrycznej na tyle, że odbija ten sam ruch, czyli jak unosimy rękę to widzimy podniesione ramię, ale nie trzeba precyzować co to jest. W przypadku macierzy antysymetrycznej musimy sprawdzić, które ramię widzimy w lustrze i określić, czy jest to macierz antysymetryczna.

Jeśli podniesiemy rękę i w lustrze widzimy, że…

  • To samo ramię jest uniesione, z punktu widzenia osoby w lustrze, wtedy jest to symetryczna matryca.
  • Przeciwne ramię jest uniesione, z punktu widzenia osoby w lustrze, wtedy jest to matryca antysymetryczna.
  • Jeżeli z punktu widzenia osoby w lustrze nie jest podniesione żadne ramię lub podniesiona jest więcej niż jedna, to jest to macierz niesymetryczna.

Podział macierzy

  • Rozkład Choleskiego
  • Główna przekątna
  • Dołączona matryca