Macierz odwrotna to przekształcenie liniowe macierzy poprzez pomnożenie odwrotności wyznacznika macierzy przez transponowaną macierz sprzężoną.
Innymi słowy, macierz odwrotna to pomnożenie odwrotności wyznacznika przez transponowaną macierz sprzężoną.
Polecane artykuły: wyznacznik macierzy, macierz kwadratowa, główna przekątna i operacje na macierzach.
Biorąc pod uwagę dowolną macierz X taką, że
Odwrotna formuła macierzowa macierzy rzędu 2
Wtedy macierz odwrotna X będzie
Korzystając z tego wzoru otrzymujemy macierz odwrotną macierzy kwadratowej rzędu 2.
Powyższy wzór można również wyrazić za pomocą wyznacznika macierzy.
Odwrotna formuła macierzowa macierzy rzędu 2
Dwie równoległe linie wokół X w mianowniku wskazują, że jest to wyznacznik macierzy X.
Kiedy macierz kwadratowa ma macierz odwrotną, mówimy, że jest to macierz regularna.
Wymagania
Aby znaleźć macierz odwrotną macierzy rzędu n musimy spełnić następujące wymagania:
- Macierz musi być macierzą kwadratową.
Liczba rzędów (n) musi być taka sama jak liczba kolumn (m). Oznacza to, że rząd macierzy musi być n przy założeniu, że n = m.
- Wyznacznik musi być różny od zera (0).
Wyznacznik macierzy musi być różny od zera (0), ponieważ uczestniczy w formule jako mianownik. Gdyby mianownik był zerem (0), mielibyśmy nieokreśloność.
Jeżeli mianownik (ad – bc) = 0, czyli wyznacznik macierzy X jest równy zero (0), to macierz X nie ma macierzy odwrotnej.
Nieruchomość
Macierz kwadratowa X rzędu n będzie miała macierz odwrotną X rzędu n, X -1 , taką, że spełnia to
Kolejność elementów mnożenia nie ma znaczenia, to znaczy, że mnożenie dowolnej macierzy kwadratowej przez jej macierz odwrotną zawsze da w wyniku macierz jednostkową tego samego rzędu.
W tym przypadku kolejność macierzy X wynosi 2. Zatem możemy przepisać poprzednią właściwość jako:
Praktyczny przykład
Znajdź macierz odwrotną macierzy V.
Aby rozwiązać ten przykład, możemy zastosować wzór lub najpierw obliczyć wyznacznik, a następnie go podstawić.
Formuła
Formuła z wyznacznikiem
Najpierw obliczamy wyznacznik macierzy V, a następnie podstawiamy go do wzoru.
Następnie otrzymujemy, że wyznacznik macierzy V jest różny od zera (0) i możemy powiedzieć, że macierz V ma macierz odwrotną.
Ten sam wynik uzyskujemy korzystając ze wzoru lub najpierw obliczając wyznacznik, a następnie podstawiając go.
Kolejność macierzy odwrotnej jest taka sama jak kolejność macierzy oryginalnej. W tym przypadku będziemy mieli taką samą liczbę wierszy n i kolumn m zarówno w macierzy V jak i V -1 .
Podział macierzy