Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa lub jednostka rzędu n to macierz kwadratowa, w której wszystkie jej elementy są zerami (0) minus elementy głównej przekątnej, które są jedynkami (1).

Innymi słowy, macierz jednostkowa ma tylko jedynki (1) na głównej przekątnej i wszystkie inne elementy macierzy z zerami (0). Ponadto rozpoznaje się, że macierz tożsamości ma kształt kwadratu, ponieważ jest to macierz kwadratowa.

Reprezentacja macierzy tożsamości

Zrzut ekranu 2019 07 25 A mniej 11.50.35
Przykłady macierzy tożsamości

Możemy tworzyć nieskończone kombinacje macierzy jednostkowych, o ile przestrzegamy warunku bycia macierzą kwadratową: posiadanie takiej samej liczby wierszy (n) i kolumn (m).

Nieruchomości

Kiedy wykonujemy operacje z matrycą jednostkową nie powinniśmy się denerwować. Musimy myśleć o macierzy jednostkowej jako o liczbie jeden (1).

Numer 1

  • Kiedy pomnożymy przez jeden (1) dowolną inną liczbę, pozostanie nam ta sama liczba ( neutralność ). Biorąc pod uwagę stałą z lub skalar dowolny:
Zrzut ekranu 2019 07 25 A mniej 11.53.12
Neutralny efekt pomnożenia stałej przez liczbę jeden (1).
  • Jeśli wykonamy odwrotność liczby jeden (1), otrzymamy tę samą liczbę jeden (1) ( odwracalny ).
Zrzut ekranu 2019 07 25 W Lesie 11.54.00
Neutralny efekt wykonania odwrotności liczby jeden (1).
  • Kiedy podnosimy liczbę jeden (1) jednostek h, zawsze będziemy mieli liczbę jeden (1) ( idempotentność ).
Zrzut ekranu 2019 07 25 A Les 11.54.06
Neutralny efekt podniesienia liczby jeden (1) do stałej h.

Macierz jednostkowa

  • Neutralność Gdy macierz jednostkowa uczestniczy w mnożeniu macierzy, nazywana jest iloczynem neutralnym. Biorąc pod uwagę dowolną macierz Z:
Zrzut ekranu 2019 07 25 A mniej 11.54.11
Neutralny efekt mnożenia macierzy jednostkowej przez dowolną macierz.
  • Odwracalne . Macierz odwrotna macierzy jednostkowej to macierz jednostkowa:
Zrzut ekranu 2019 07 25 A mniej 11.54.17
Neutralny efekt odwrócenia macierzy jednostkowej.
  • Idempotencja . Podniesiona macierz odwrotna jednostek h (liczba naturalna) jest nadal macierzą jednostkową:
Zrzut ekranu 2019 07 25 A mniej 11.54.22
Neutralny efekt podniesienia macierzy tożsamości o jednostki h.

Procedura identyfikacji macierzy tożsamości

  1. Macierz musi być macierzą kwadratową.
  2. Macierz musi mieć jedynki (1) na głównej przekątnej i zera (0) na pozostałych pozycjach.

Aplikacje

Macierz jednostkowa uczestniczy tyle razy, ile jeden (1) uczestniczy w algebrze. Na przykład, gdy pomnożymy dowolną macierz przez jej macierz odwrotną, otrzymamy macierz jednostkową.

Przykład teoretyczny

Czy następujące macierze są macierzami tożsamości?

Zrzut ekranu 2019 07 25 A mniej 11.54.31
Przykłady macierzy tożsamości i macierzy nietożsamości.

Macierz IA:

  • Macierz kwadratowa.
  • Macierz nieidentyfikacyjna: na głównej przekątnej znajduje się liczba inna niż jeden (1), a na pozostałych pozycjach liczba inna niż zero (0).

Macierz IB:

  • Nie kwadratowa macierz.
  • Brak macierzy tożsamości.

Macierz IC:

  • Nie kwadratowa macierz.
  • Brak macierzy tożsamości.

Identyfikator macierzy:

  • Macierz kwadratowa.
  • Macierz tożsamości: na głównej przekątnej są jedynki (1), a na pozostałych pozycjach są zera (0).

IE macierz:

  • Macierz kwadratowa.
  • Brak macierzy jednostkowej: chociaż na pozostałych pozycjach są zera (0), na głównej przekątnej jest liczba inna niż jeden (1).

Podział macierzy

  • Macierz kwadratowa
  • Rozkład Choleskiego
  • Matryca antysymetryczna