Een niet-symmetrische matrix is een niet-vierkante matrix waarbij de elementen van de getransponeerde matrix zich op andere posities bevinden dan de elementen van de oorspronkelijke matrix.
Met andere woorden, de niet-symmetrische matrix is een matrix waarbij het aantal rijen (n) anders is dan het aantal kolommen (m) en de transponering van de matrix verschilt van de oorspronkelijke matrix.
Het is belangrijk om niet-symmetrische matrices niet te verwarren met antisymmetrische matrices, aangezien het zeer verschillende concepten zijn en verwijzen naar verschillende elementen binnen de matrix.
Om een matrix symmetrisch te laten zijn, moet het een vierkante matrix zijn en moet deze gelijk zijn aan de getransponeerde matrix. Met andere woorden, dat het aantal rijen (n) gelijk is aan het aantal kolommen (m) en dat de elementen van de matrix niet veranderen nadat de rijen door de kolommen zijn veranderd.
Wiskundig betekent het concept van symmetrie dat bij toepassing van de transponeerbewerking de elementen van de matrix niet zullen veranderen.
De symmetrische matrix en spiegels
We zullen het concept van een niet-symmetrische matrix beter begrijpen als we nadenken over het effect dat een spiegel produceert.
Als we in de spiegel kijken, zien we ons gezicht weerspiegeld; als we een hand opsteken, gaat er ook een hand omhoog in de spiegel. Op dezelfde manier dat als we een gebaar maken, hetzelfde gereflecteerde gebaar zal verschijnen.
Welnu, hetzelfde gebeurt met de hoofddiagonaal van een symmetrische matrix. Items onder of boven de hoofddiagonaal zijn hetzelfde. Dat wil zeggen, de hoofddiagonaal van een symmetrische matrix fungeert als een spiegel van de elementen eromheen.
Gegeven een symmetrische matrix S ,
De getransponeerde matrix S zou de volgende vorm hebben:
Raadpleeg het artikel over symmetrische matrix voor meer informatie over de wiskundige eigenschappen ervan.
De niet-symmetrische matrix en spiegels
In het geval van de niet-symmetrische matrix is het alsof de spiegel is gebroken.
En als een spiegel kapot is, weerkaatst hij de elementen ervoor niet goed. We kunnen de rechterhand opsteken en zien dat er vier handen worden opgestoken of dat er geen worden opgestoken.
Dus, door dezelfde logica toe te passen, gaat de niet-symmetrische matrix over het niet hebben van dezelfde elementen boven of onder de hoofddiagonaal en ook dat ze niet gelijk zijn.
Zoals dat:
In deze matrix kunnen we de hoofddiagonaal niet vinden en daarom is er geen symmetrie in het aantal elementen. Bovendien, als we de vorige matrix transponeren, zullen we zien dat deze zijn oorspronkelijke staat niet behoudt.
De getransponeerde NS- matrix zou de volgende vorm hebben:
Samenvatting
Wanneer we het concept van een niet-symmetrische matrix tegenkomen, hoeven we alleen maar na te denken over de symmetrische matrix en een negatie voor zijn kenmerken te plaatsen. Dat wil zeggen, een niet-symmetrische matrix zal zodanig zijn dat deze voldoet aan:
- Niet- vierkante matrix.
- Getransponeerde matrix niet gelijk aan originele matrix.
Het lijkt misschien gemakkelijk om te onthouden wat een niet-symmetrische matrix is, maar als we met antisymmetrische matrices werken, verwarren we de concepten soms.
Antisymmetrische matrix