Convexiteit van een obligatie

De convexiteit van een obligatie is de helling van de curve die prijs en winstgevendheid met elkaar in verband brengt. Meet de verandering in de looptijd van de obligatie als gevolg van een verandering in winstgevendheid.

Convexiteit van een binding

Wiskundig wordt het uitgedrukt als de tweede afgeleide van de prijs-winstgevendheidscurve. De formule is als volgt:

De variatie in de prijs van een obligatie bij rentewijzigingen is de som van de variatie veroorzaakt door de modified duration en de variatie veroorzaakt door de convexiteit van de obligatie.

Als de convexiteit van een obligatie gelijk is aan 100, verandert de prijs van de obligatie met 1% extra voor elke verandering van 1% in rentetarieven, naast de prijs die wordt berekend door de looptijd. Als de convexiteit van een obligatie gelijk is aan nul, zal de prijs van de obligatie variëren met veranderingen in de rentetarieven met het bedrag dat wordt gemotiveerd door de duur van de obligatie.

Relatie convexiteit van een obligatie en duur van een obligatie

De convexiteit van een obligatie biedt ons een veel nauwkeurigere maatstaf voor de prijs-rendementveranderingen van een obligatie. De duration van een obligatie gaat ervan uit dat de verhouding tussen prijs en rendement constant is. De realiteit is echter heel anders. Daarom is de duur, ondanks kleine prijs-winstgevendheidsschommelingen, een acceptabele maatstaf. Maar voor grotere variaties wordt de berekening van de convexiteit essentieel.

Wiskundig gezien lijkt het misschien een beetje een abstracte term. Omdat het grafisch veel gemakkelijker te begrijpen is, laten we eens kijken hoe het wordt weergegeven. In de volgende twee grafieken zien we zowel de duur als de convexiteit weergegeven.

Hoe lager het rendement op de obligatie, hoe hoger de prijs. En omgekeerd, hoe hoger de winstgevendheid van de obligatie, hoe lager de prijs. Natuurlijk verandert de prijs niet in dezelfde verhouding als de winstgevendheid verandert van 10 naar 12% alsof deze verandert van 1 naar 2%. Dit is waar convexiteit rekening mee houdt. Duur gaat ervan uit dat de verandering in prijs elke keer hetzelfde is. Terwijl convexiteit er rekening mee houdt dat de prijsverandering niet constant is. Het verschil tussen de blauwe lijn en de oranje lijn is de convexiteit zelf. De oranje lijn is de verandering in de prijs van de obligatie rekening houdend met de looptijd. Ten slotte vertegenwoordigt de blauwe lijn de veranderingen in de prijs van de obligatie, rekening houdend met de duur en convexiteit.

Voorbeeld van convexiteit van een binding

We hebben een obligatie die over 10 jaar afloopt. De coupon is 7% en de obligatie heeft een nominale waarde van 100 euro. De markt-IRR is 5%. Dat betekent dat obligaties met vergelijkbare kenmerken een rendement van 5% bieden. Of wat is hetzelfde 2% minder. De couponbetaling is jaarlijks.

Als het rendement van de obligatie van 7% naar 5% gaat, hoeveel verandert dan de prijs van de obligatie? Om de variatie te berekenen die de prijs zou hebben bij een verandering van de rente, hebben we de volgende formules nodig:

Obligatieprijs berekening:

Berekening van de duur van de bonus:

Berekening van de gewijzigde duur:

Berekening van convexiteit:

Berekening van de variatie van de looptijd:

Berekening van de variatie van convexiteit:

Berekening van de variatie in de prijs van de obligatie:

Download Excel-tabel om alle gedetailleerde berekeningen te zien

Met behulp van de bovengenoemde formules verkrijgen we de volgende gegevens:

Obligatieprijs = 115,44

Duur = 7.71

Gewijzigde duur = 7.34

Convexiteit = 69,73

De prijsvariatie bij een daling van het rendement van de obligatie met 2% is + 14,68%, rekening houdend met de looptijd. De variatie in de prijs van de obligatie, rekening houdend met de convexiteit, is + 1,39%. Om de totale variatie van de prijs te verkrijgen, moeten we de twee variaties optellen. Uit de berekening blijkt dat bij een daling van 2% van deze obligatie, de prijs met 16,07% zou stijgen.