Transponert matrise

Transponert matrise

Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.50.28

En transponert matrise er resultatet av å omorganisere den opprinnelige matrisen ved å endre rader for kolonner og kolonner for rader i en ny matrise.

Med andre ord, den transponerte matrisen er handlingen med å velge radene fra den opprinnelige matrisen og omskrive dem som kolonner i den nye matrisen og reversere prosessen for kolonnene.

Vanligvis når vi endrer radene for kolonner og kolonnene for rader, indikerer vi det ved å legge til en hevet T eller en apostrof i navnet på den opprinnelige matrisen. Hvis vi legger til hevet T, må vi huske på at vi jobber med matriser og at hevet ikke er en eksponent.

Anbefalt artikkel: operasjoner med matriser.

Formel for en transponert matrise nxm

Gitt en hvilken som helst matrise Z med n rader og m kolonner, kan vi konstruere den transponerte matrisen, Z T , som vil ha m rader og n kolonner.

Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.29.14
Transponering av matrise Z.

Transponering av en kvadratisk matrise

Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.29.42
Generelt tilfelle av transponering av matrise Z av orden 3.

Avhengig av matrisens typologi, vil rekkefølgen til matrisen også endres når vi transponerer den.

Egenskaper

Gitt matrisen Z ovenfor,

  • Transponeringen av en transponert matrise er den opprinnelige matrisen.
Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.31.24
  • Den transponerte summen av matriser er lik summen av de transponerte matrisene.
Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.31.58
  • Det transponerte produktet av en konstant h ved en matrise er lik produktet av konstanten h ved den transponerte matrisen.
Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.32.20
  • Det transponerte produktet av matrisemultiplikasjonen er lik produktet av den transponerte matrisemultiplikasjonen.
Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.33.05

applikasjoner

Transponerte matriser er mer tilstede enn vi tror. I økonometri finner vi transposisjoner når vi uttrykker matrisene i kvadratisk form. På samme måte er formelen for estimatoren for Ordinary Least Squares (OLS) i matriseform:

Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.33.38
OLS-estimatorformel i matriseform.

Teoretisk eksempel

Finn transponeringsmatrisen til følgende matriser:

Skjermbilde 2019 09 11 A Les 18.34.08
Matrisetransponering.

Symmetrisk matrise

  • Ikke-symmetrisk matrise
  • Invers matrise av orden 2
  • Matriseinndeling