En symmetrisk matrise er en matrise av orden n med samme antall rader og kolonner der dens transponerte matrise er lik den opprinnelige matrisen.
Med andre ord, en symmetrisk matrise er en kvadratisk matrise og er identisk med matrisen etter å ha byttet rader for kolonner og kolonner for rader.
Krav
For at en matrise skal være en symmetrisk matrise, må den oppfylle følgende restriksjoner:
Gitt en symmetrisk matrise P av orden n,
- Vær en firkantet matrise .
Antall rader (n) må være det samme som antall kolonner (m). Det vil si at rekkefølgen til matrisen må være n gitt at n = m.
- Den opprinnelige matrisen må være lik den transponerte matrisen .
Demonstrasjon:
Egenskaper
- Den tilstøtende matrisen til en symmetrisk matrise er også en symmetrisk matrise.
Demonstrasjon:
- Addisjon eller subtraksjon av to symmetriske matriser resulterer i en annen symmetrisk matrise.
Demonstrasjon:
Gitt to symmetriske matriser P og T av størrelsesorden 3, får vi en annen symmetrisk matrise S fra summen.
Hvorfor kalles det en symmetrisk matrise?
Symmetriegenskapen er gitt av elementene rundt hoveddiagonalen. Siden en kvadratisk matrise er en symmetrisk matrise, vil den alltid ha samme antall elementer over og under hoveddiagonalen. Disse elementene er de samme symmetrisk. Det vil si at hoveddiagonalen fungerer som et speil.
Bevis på symmetri og skjevhet i en matrise
Symmetrisk matrise
Bokstaven d representerer elementene i hoveddiagonalen. De andre bokstavene representerer et hvilket som helst reelt tall. Vi kan se at hoveddiagonalen fungerer som et speil: den reflekterer elementene på begge sider. Med andre ord, når elementene på begge sider av diagonalen er symmetrisk like, sier vi at matrisen P er en symmetrisk matrise.
Ikke-symmetrisk matrise
Matrise X er ikke en symmetrisk matrise siden den ikke er en kvadratisk matrise og dens transponerte matrise er forskjellig fra den opprinnelige matrisen. I tillegg har den heller ikke hoveddiagonal.
Ikke-symmetrisk matrise