Største felles divisor (GCF)

Den største felles divisor (GCF) er det største tallet som to eller flere tall kan deles med. Dette uten å etterlate rester.

Det vil si at den største felles divisor eller GCF er det høyeste tallet som et sett med tall kan deles med, noe som resulterer i et helt tall.

En divisor kan formelt defineres som det tallet som er inneholdt i en annen nøyaktig et beløp n ganger.

Det skal bemerkes at tallene som GCF beregnes på, må være fra null.

For å forklare det bedre, la oss se på et eksempel. Anta at vi har 35 og 15. Dermed observerer vi hva divisorene til hver er:

• Divisjoner på 35 → 35,7,5,1
• Divisjoner på 15 → 15,5,3,1

Derfor er den største felles faktoren på 35 og 15 5.

Det er verdt å nevne at hvis felles divisorer for to tall bare er 1 og -1, kalles de "primtall til hverandre."

Metoder for å beregne den største felles divisor

Vi kan skille mellom følgende tre metoder for å beregne den største felles divisor:

• Dekomponering til primtall: Tall dekomponeres til primtall. Så, for å beregne GCF, tar vi de vanlige tallene hevet til laveste potens. Anta for eksempel at vi har 216 og 156:

216/2 = 108

108/2 = 54

54/2 = 27

27/3 = 9

9/3 = 3

3/3 = 1

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3)

156/2 = 78

78/2 = 39

39/3 = 13

13/13 = 1

156 = 13 * 3 * (2 ^ 2)

Derfor vil den største felles divisor mellom begge tallene være: (2 ^ 2) * 3 = 12

Anta nå at vi har tre elementer: 315, 441 og 819

315 = (3 ^ 2) * 7 * 5

441 = (3 ^ 2) * (7 ^ 2)

819 = (3 ^ 2) * 7 * 13

Så, etter å ha disaggregert dem, tatt hver divisor med sin laveste potens, ville resultatet være:

GCF = (3 ^ 2) * 7 = 63

• Euklids algoritme : Ved å dele a på b får vi en kvotient c og r . Så den største felles divisor for a og b er den samme som for b og r . Dette, gitt følgende: a = bc + r . For å forstå det bedre, la oss bruke denne metoden på eksemplet vist tidligere med 216 og 156.

216/156 = 1 med resten av 60

nå deler vi 156/60 = 2 med resten 36

Vi deler 60/36 = 1 igjen med resten 24

Nok en gang deler vi 36/24 = 1 med resten 12

Og til slutt deler vi 24/12 = 2 med resten 0

Derfor er den største felles divisor 12. Som vi kan se må vi dele til resten er 0 og siste divisor vil være GCF.

• Basert på minste felles multiplum : Tallene multipliseres og resultatet divideres med deres minste felles multiplum (LCM).

Vi må huske at det minste felles multiplum (LCM) er den minste figuren som tilfredsstiller betingelsen om å være et multiplum av alle elementene i et sett med tall.

Det vil si, går tilbake til det samme eksempelet, kan vi dekomponere som følger:

216 = (3 ^ 3) * (2 ^ 3) og 156 = 13 * 3 * (2 ^ 2) 204 = 3 * (2 ^ 2) * 17 168 = 3 * (2 ^ 3) * 7

Minste felles multiplum vil være: (3 ^ 3) * (2 ^ 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

Så: GCD = 216 * 156 / 2,808 = 12

Det er verdt å nevne at denne metoden bare fungerer for to tall.