En ikke-symmetrisk matrise er en ikke-kvadratisk matrise der elementene i den transponerte matrisen er i forskjellige posisjoner enn elementene i den opprinnelige matrisen.
Med andre ord er den ikke-symmetriske matrisen en matrise der antall rader (n) er forskjellig fra antall kolonner (m) og transponeringen av matrisen er forskjellig fra den opprinnelige matrisen.
Det er viktig å ikke forveksle ikke-symmetriske matriser med antisymmetriske matriser siden de er svært forskjellige konsepter og refererer til forskjellige elementer i matrisen.
For at en matrise skal være symmetrisk, må den være en kvadratisk matrise og den må være lik dens transponerte matrise. Med andre ord, at antall rader (n) er lik antall kolonner (m) og at elementene i matrisen ikke endres når radene er endret av kolonnene.
Matematisk betyr begrepet symmetri at ved å bruke transponeringsoperasjonen, vil elementene i matrisen ikke endres.
Den symmetriske matrisen og speil
Vi vil bedre forstå konseptet med en ikke-symmetrisk matrise hvis vi tenker på effekten som et speil produserer.
Hvis vi ser i speilet vil vi se ansiktet vårt reflektert; hvis vi rekker en hånd, vil en hånd også reise seg i speilet. På samme måte som hvis vi gjør en gest, vil den samme reflekterte gesten vises.
Vel, det samme skjer med hoveddiagonalen til en symmetrisk matrise. Elementer under eller over hoveddiagonalen vil være de samme. Det vil si at hoveddiagonalen til en symmetrisk matrise fungerer som et speil av elementene rundt den.
Gitt en symmetrisk matrise S ,
Den transponerte matrisen S vil ha følgende form:
For mer informasjon om dens matematiske egenskaper, se artikkelen om symmetrisk matrise.
Den ikke-symmetriske matrisen og speil
Når det gjelder den ikke-symmetriske matrisen, er det som om speilet var ødelagt.
Og når et speil er ødelagt, reflekterer det ikke godt elementene foran det. Vi kan heve høyre hånd og se at fire hender er hevet eller ingen er hevet.
Så, ved å bruke den samme logikken, handler den ikke-symmetriske matrisen om å ikke ha de samme elementene over eller under hoveddiagonalen, og også at de ikke er like.
Slik at:
I denne matrisen kan vi ikke finne hoveddiagonalen, og derfor er det ingen symmetri i antall elementer. Videre, hvis vi transponerer den forrige matrisen, vil vi se at den ikke beholder sin opprinnelige tilstand.
Den transponerte NS- matrisen vil ha følgende form:
Sammendrag
Når vi kommer over konseptet med en ikke-symmetrisk matrise, trenger vi bare å tenke på den symmetriske matrisen og sette en negasjon foran dens egenskaper. Det vil si at en ikke-symmetrisk matrise vil være slik at den tilfredsstiller:
- Ikke- kvadratisk matrise.
- Transponert matrise er ikke lik originalmatrise.
Det kan virke lett å huske hva en ikke-symmetrisk matrise er, men når vi jobber med antisymmetriske matriser forvirrer vi noen ganger begrepene.
Antisymmetrisk matrise