Bøyningspunkt

Bøyepunktet til en matematisk funksjon er det punktet der grafen som representerer den endrer konkavitet. Det vil si at den går fra å være konkav til å være konveks, eller omvendt.

Bøyningspunkt

Bøyepunktet er med andre ord det øyeblikket når funksjonen endrer trend.

For å få en idé, la oss starte med å se på den i en grafisk representasjon, omtrent:

Bøyepunkt 1 1

Det bør bemerkes at en funksjon kan ha mer enn ett bøyningspunkt, eller ikke ha dem i det hele tatt. For eksempel har ikke en linje et bøyningspunkt.

La oss se, i følgende graf, et eksempel på en funksjon med mer enn ett bøyningspunkt:

Vendepunkter

Også, i matematiske termer, beregnes bøyningspunktet ved å sette den andre deriverte av funksjonen lik null. Dermed løser vi for roten (eller røttene) til den ligningen og vi vil kalle den Xi.

Deretter erstatter vi Xi i den tredje deriverte av funksjonen. Hvis resultatet er forskjellig fra null, står vi overfor et bøyningspunkt.

Men hvis resultatet er null, må vi erstatte i de suksessive deriverte, til verdien av denne deriverte, det være seg den tredje, fjerde eller femte, er forskjellig fra 0. Hvis den deriverte er oddetall, er det et bøyningspunkt , men hvis det er enda nei.

Vendepunkt eksempel

La oss deretter se på et eksempel.

Anta at vi har følgende funksjon:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‘= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Deretter erstatter vi Xi i den tredje deriverte:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Siden resultatet er forskjellig fra null, befinner vi oss foran et bøyningspunkt som ville vært når x er lik -1,25 og y er lik -2,1328, som vi illustrerer i følgende graf.

I dette er det observert at funksjonen har et bøyningspunkt:

Bøyningspunkt

La oss nå se på et annet eksempel:

y = x 4 -54 x 2

y ‘= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 og -3

Deretter erstatter vi de to røttene som finnes i den tredje deriverte:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Siden resultatet ikke er null, har vi to bøyningspunkter ved (3.567) og (-3.567).

For å utfylle informasjonen, inviterer vi deg til å besøke bøyningsartikkelen, der vi dekker dette konseptet mer generelt: