Antisymmetrisk matrise

Antisymmetrisk matrise

Speil 1

En antisymmetrisk matrise er en kvadratisk matrise der elementene utenfor hoveddiagonalen er symmetrisk like, men de under hoveddiagonalen har et negativt fortegn.

Med andre ord, en antisymmetrisk matrise er en matrise som har samme antall rader (n) og kolonner (m), og elementene på begge sider av hoveddiagonalen er komplementære.

Siden elementene over og under hoveddiagonalen er forskjøvet, er elementene på hoveddiagonalen null.

Anbefalt artikkel: ikke-symmetrisk matrise og symmetrisk matrise.

Kjennetegn ved den antisymmetriske matrisen

Egenskapene til en antisymmetrisk matrise er:

  • Firkantet matrise.
  • Symmetrisk matrise + negativt fortegn (-) i elementene under hoveddiagonalen.
  • Elementer i hoveddiagonalen er nuller (0).

Antisymmetrisk matrise

Gitt en kvadratisk matrise AS ,

Antisymmetrisk matrise 1
Antisymmetrisk matrise

Vi kan se hvordan de samme elementene vises på begge sider av hoveddiagonalen, men med det særegne at elementene under hoveddiagonalen har et negativt fortegn foran. Dessuten består hoveddiagonalen av nuller.

Den antisymmetriske matrisen og speil

På samme måte som den symmetriske matrisen kan den antisymmetriske matrisen også forstås gjennom eksemplet med speilet.

Speil 1
Speil

Hvis vi ser oss selv i speilet og løfter høyre arm, vil vi se at personen i speilet løfter venstre arm. Med andre ord, bevegelsen til speilet utfyller vår, og derfor vil summen av begge resultere i null.

Vi kan uttrykke ideen ovenfor som følger og utlede:

(løft høyre hånd) (løft venstre hånd) = 0

(løft høyre hånd) = (løft venstre hånd)

Hoveddiagonalen fungerer som et speil og vi ser motstående elementer på begge sider av hoveddiagonalen. Den nøytrale funksjonen (=) tilordnes hoveddiagonalen.

Eiendom

  • Den transponerte matrisen til en antisymmetrisk matrise er lik den antisymmetriske matrisen multiplisert med (-1).

Det vil med andre ord være som å legge til et negativt tegn foran den antisymmetriske matrisen.

Matematisk,

Antisymmetrisk matriseegenskap 1
Egenskapen til den antisymmetriske matrisen

Vi kan se at med begge prosedyrene kommer vi til samme resultat: å gjøre den transponerte matrisen eller multiplisere med (-1) den antisymmetriske matrisen.

Ikke-symmetrisk matrise vs antisymmetrisk matrise vs symmetrisk matrise

Eksemplet på speilet i tilfellet med den symmetriske matrisen er nok til at det reflekterer den samme bevegelsen, det vil si at hvis vi løfter en arm, kan vi se en hevet arm, men det er ikke nødvendig å spesifisere hva det er. Når det gjelder den antisymmetriske matrisen, må vi sjekke hvilken arm vi ser i speilet og finne ut om det er en antisymmetrisk matrise.

Hvis vi løfter en arm og i speilet ser vi at …

  • Den samme armen er hevet, sett fra personen i speilet, så er det en symmetrisk matrise.
  • Den motsatte armen er hevet, sett fra personen i speilet, så er det en antisymmetrisk matrise.
  • Hvis ingen arm er hevet eller mer enn én er hevet, sett fra personen i speilet, er det en ikke-symmetrisk matrise.

Matriseinndeling

  • Hoveddiagonal
  • Vedlagt matrise
  • Kolesky nedbrytning