Simetriskā matrica ir n kārtas matrica ar tādu pašu rindu un kolonnu skaitu, kur tās transponētā matrica ir vienāda ar sākotnējo matricu.
Citiem vārdiem sakot, simetriskā matrica ir kvadrātveida matrica un ir identiska matricai pēc tam, kad ir mainītas rindas kolonnām un kolonnas rindām.
Prasības
Lai jebkura matrica būtu simetriska matrica, tai jāatbilst šādiem ierobežojumiem:
Dota simetriskā matrica P ar n-kārtu,
- Esiet kvadrātveida matrica .
Rindu skaitam (n) ir jābūt tādam pašam kā kolonnu skaitam (m). Tas nozīmē, ka matricas secībai ir jābūt n, ja n = m.
- Sākotnējai matricai ir jābūt vienādai ar tās transponēto matricu .
Demonstrācija:
Īpašības
- Simetriskas matricas blakus matrica ir arī simetriska matrica.
Demonstrācija:
- Divu simetrisku matricu saskaitīšana vai atņemšana rada citu simetrisku matricu.
Demonstrācija:
Dotas divas simetriskas 3. kārtas matricas P un T , no summas iegūstam vēl vienu simetrisko matricu S.
Kāpēc to sauc par simetrisko matricu?
Simetrijas īpašību piešķir elementi ap galveno diagonāli. Tā kā kvadrātveida matrica ir simetriska matrica, tai vienmēr būs vienāds elementu skaits virs un zem galvenās diagonāles. Šie elementi ir simetriski vienādi. Tas ir, galvenā diagonāle darbojas kā spogulis.
Matricas simetrijas un šķībuma pierādījums
Simetriskā matrica
Burts d apzīmē galvenās diagonāles elementus. Pārējie burti apzīmē jebkuru reālu skaitli. Mēs redzam, ka galvenā diagonāle darbojas kā spogulis: tā atspoguļo elementus abās pusēs. Citiem vārdiem sakot, ja elementi abās diagonāles pusēs ir simetriski vienādi, mēs sakām, ka matrica P ir simetriska matrica.
Nesimetriska matrica
Matrica X nav simetriska matrica, jo tā nav kvadrātveida matrica un tās transponētā matrica atšķiras no sākotnējās matricas. Turklāt tai nav arī galvenās diagonāles.
Matricas dalījums