Simetrinė matrica yra n eilės matrica, turinti tiek pat eilučių ir stulpelių, kai jos perkelta matrica yra lygi pradinei matricai.
Kitaip tariant, simetrinė matrica yra kvadratinė matrica ir yra identiška matricai, sukeitus eilutes į stulpelius ir stulpelius į eilutes.
Reikalavimai
Kad bet kuri matrica būtų simetriška, ji turi atitikti šiuos apribojimus:
Duota simetrinė matrica P , kurios eilės n,
- Būkite kvadratinė matrica .
Eilučių skaičius (n) turi būti toks pat kaip stulpelių skaičius (m). Tai yra, matricos tvarka turi būti n, jei n = m.
- Pradinė matrica turi būti lygi jos perkeltai matricai .
Demonstracija:
Savybės
- Simetrinės matricos adjungtinė matrica taip pat yra simetrinė.
Demonstracija:
- Sudėjus arba atimant dvi simetriškas matricas, gaunama kita simetriška matrica.
Demonstracija:
Duotos dvi simetriškos 3 eilės matricos P ir T , iš sumos gauname kitą simetrinę matricą S.
Kodėl ji vadinama simetriška matrica?
Simetrijos savybę suteikia elementai aplink pagrindinę įstrižainę. Kadangi kvadratinė matrica yra simetriška, joje visada bus toks pat elementų skaičius virš pagrindinės įstrižainės ir žemiau jos. Šie elementai yra vienodi simetriškai. Tai yra, pagrindinė įstrižainė veikia kaip veidrodis.
Matricos simetrijos ir iškrypimo įrodymas
Simetrinė matrica
Raidė d žymi pagrindinės įstrižainės elementus. Kitos raidės reiškia bet kokį realų skaičių. Matome, kad pagrindinė įstrižainė veikia kaip veidrodis: ji atspindi elementus iš abiejų pusių. Kitaip tariant, kai elementai abiejose įstrižainės pusėse yra simetriškai lygūs, sakome, kad matrica P yra simetriška matrica.
Nesimetriška matrica
Matrica X nėra simetrinė matrica, nes ji nėra kvadratinė matrica ir jos perkelta matrica skiriasi nuo pradinės matricos. Be to, jis neturi ir pagrindinės įstrižainės.
2 eilės atvirkštinė matrica