Antisimetrinė matrica

Antisimetrinė matrica

Veidrodis 1

Antisimetrinė matrica yra kvadratinė matrica, kurioje už pagrindinės įstrižainės esantys elementai yra simetriškai lygūs, tačiau esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, turi neigiamą ženklą.

Kitaip tariant, antisimetrinė matrica yra matrica, kurioje yra tiek pat eilučių (n) ir stulpelių (m), o elementai abiejose pagrindinės įstrižainės pusėse yra vienas kitą papildantys.

Kadangi elementai virš pagrindinės įstrižainės ir žemiau jos yra poslinkiai, pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs nuliui.

Rekomenduojamas straipsnis: nesimetrinė matrica ir simetrinė matrica.

Antisimetrinės matricos charakteristikos

Antisimetrinės matricos savybės yra šios:

  • Kvadratinė matrica.
  • Simetrinė matrica + neigiamas ženklas (-) po pagrindine įstriža esančiuose elementuose.
  • Pagrindinės įstrižainės elementai yra nuliai (0).

Antisimetrinė matrica

Duota kvadratinė matrica AS ,

Antisimetrinė matrica 1
Antisimetrinė matrica

Matome, kaip tie patys elementai atrodo abiejose pagrindinės įstrižainės pusėse, tačiau su tuo, kad žemiau pagrindinės įstrižainės esantys elementai turi neigiamą ženklą priekyje. Be to, pagrindinė įstrižainė sudaryta iš nulių.

Antisimetrinė matrica ir veidrodžiai

Panašiai kaip simetrinė matrica, antisimetrinė matrica taip pat gali būti suprantama per veidrodžio pavyzdį.

Veidrodis 1
Veidrodis

Jei pažiūrėtume į save veidrodyje ir pakeltume dešinę ranką, pamatytume, kad žmogus veidrodyje pakelia kairę ranką. Kitaip tariant, veidrodžio judėjimas papildo mūsų judėjimą, todėl abiejų suma būtų lygi nuliui.

Aukščiau pateiktą mintį galime išreikšti taip ir padaryti išvadą:

(Pakelkite dešinę ranką) (Pakelkite kairę ranką) = 0

(Pakelkite dešinę ranką) = (Pakelkite kairę ranką)

Pagrindinė įstrižainė veikia kaip veidrodis, o abiejose pagrindinės įstrižainės pusėse matome priešingus elementus. Neutrali funkcija (=) susieta su pagrindine įstrižaine.

Nuosavybė

  • Perkelta antisimetrinės matricos matrica yra lygi antisimetrinei matricai, padaugintai iš (-1).

Kitaip tariant, tai būtų tarsi neigiamo ženklo pridėjimas prieš antisimetrinę matricą.

Matematiškai,

1 antisimetrinės matricos savybė
Antisimetrinės matricos savybė

Matome, kad taikant abi procedūras gauname tą patį rezultatą: atlikdami transponuotą matricą arba padaugindami iš (-1) antisimetrinę matricą.

Nesimetrinė matrica vs antisimetrinė matrica vs simetrinė matrica

Veidrodžio pavyzdžio simetrinės matricos atveju pakanka, kad jis atspindėtų tą patį judesį, tai yra, jei pakeliame ranką, matome pakeltą ranką, bet nebūtina nurodyti, kas tai yra. Antisimetrinės matricos atveju turime patikrinti, kurią ranką matome veidrodyje ir nustatyti, ar tai antisimetrinė matrica.

Jei pakeltume ranką ir veidrodyje pamatytume, kad…

  • Ta pati ranka pakeliama, žiūrint iš veidrodžio žmogaus požiūrio, tada tai yra simetriška matrica.
  • Priešinga ranka yra pakelta, žiūrint iš veidrodžio žmogaus, tada tai yra antisimetrinė matrica.
  • Jei nepakeliama nė viena ranka arba pakeliama daugiau nei viena, žiūrint iš veidrodžio žmogaus, tai yra nesimetrinė matrica.

Matricos padalijimas

  • Cholesky skilimas
  • Pridedama matrica
  • Matricos determinantas