Punto di flesso

Il punto di flesso di una funzione matematica è quel punto in cui il grafico che la rappresenta cambia la sua concavità. Cioè, passa dall’essere concavo all’essere convesso, o viceversa.

Punto di flesso

Il punto di flesso, in altre parole, è quel momento in cui la funzione cambia tendenza.

Per avere un’idea, iniziamo guardandola in una rappresentazione grafica, all’incirca:

Punto di flesso 1 1

Va notato che una funzione può avere più di un punto di flesso o non averli affatto. Ad esempio, una linea non ha un punto di flesso.

Vediamo, nel grafico seguente, un esempio di funzione con più di un punto di flesso:

Punti di svolta

Inoltre, in termini matematici, il punto di flesso viene calcolato ponendo uguale a zero la derivata seconda della funzione. Quindi, risolviamo per la radice (o le radici) di quell’equazione e la chiameremo Xi.

Quindi, sostituiamo Xi nella derivata terza della funzione. Se il risultato è diverso da zero, siamo di fronte a un punto di flesso.

Tuttavia, se il risultato è zero, dobbiamo sostituire nelle derivate successive, fino a quando il valore di questa derivata, sia essa la terza, la quarta o la quinta, è diverso da 0. Se la derivata è dispari, è un punto di flesso, ma se è anche no.

Esempio di svolta

Successivamente, diamo un’occhiata a un esempio.

Supponiamo di avere la seguente funzione:

y = 2x 4 + 5x 3 + 9x + 14

y ‘= 8x 3 + 15x 2 +9

y »= 24x 2 + 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Quindi, sostituiamo Xi nella derivata terza:

y »’= 48x

y »’= 48x-1,25 = -60

Poiché il risultato è diverso da zero, ci troviamo di fronte ad un punto di flesso che sarebbe quando x è uguale a -1,25 e y è uguale a -2.1328, come illustriamo nel grafico seguente.

In questo si osserva che la funzione ha un punto di flesso:

Punto di flesso

Ora, diamo un’occhiata a un altro esempio:

y = x 4 -54x 2

y ‘= 4x 3 -108x

y »= 12x 2 -108 = 0

x 2 = 9

Xi = 3 e -3

Quindi, sostituiamo le due radici trovate nella derivata terza:

y »’= 24x

y »’= 24 × 3 = 72

y »’= 24x-3 = -72

Poiché il risultato è diverso da zero, abbiamo due punti di flesso a (3.567) e (-3.567).

Per completare le informazioni, ti invitiamo a visitare l’articolo sulla flessione, dove trattiamo questo concetto più in generale: