Matrice simmetrica

Una matrice simmetrica è una matrice di ordine n con lo stesso numero di righe e colonne in cui la sua matrice trasposta è uguale alla matrice originale.

In altre parole, una matrice simmetrica è una matrice quadrata ed è identica alla matrice dopo aver scambiato righe per colonne e colonne per righe.

Requisiti

Affinché una matrice sia una matrice simmetrica, deve soddisfare le seguenti restrizioni:

Data una matrice simmetrica P di ordine n,

• Sii una matrice quadrata .

Il numero di righe (n) deve essere uguale al numero di colonne (m). Cioè, l’ordine della matrice deve essere n dato che n = m.

• La matrice originale deve essere uguale alla sua matrice trasposta .

Dimostrazione:

Proprietà

• La matrice aggiunta di una matrice simmetrica è anche una matrice simmetrica.

Dimostrazione:

• L’aggiunta o la sottrazione di due matrici simmetriche risulta in un’altra matrice simmetrica.

Dimostrazione:

Date due matrici simmetriche P e T di ordine 3, dalla somma si ottiene un’altra matrice simmetrica S.

Perché si chiama matrice simmetrica?

La proprietà della simmetria è data dagli elementi attorno alla diagonale principale. Poiché una matrice quadrata è una matrice simmetrica, avrà sempre lo stesso numero di elementi sopra e sotto la diagonale principale. Questi elementi sono gli stessi simmetricamente. Cioè, la diagonale principale funge da specchio.

Dimostrazione di simmetria e asimmetria di una matrice

Matrice simmetrica

La lettera d rappresenta gli elementi della diagonale principale. Le altre lettere rappresentano qualsiasi numero reale. Possiamo vedere che la diagonale principale agisce come uno specchio: riflette gli elementi su entrambi i lati. In altre parole, quando gli elementi su entrambi i lati della diagonale sono simmetricamente uguali, si dice che la matrice P è una matrice simmetrica.

Matrice non simmetrica

La matrice X non è una matrice simmetrica poiché non è una matrice quadrata e la sua matrice trasposta è diversa dalla matrice originale. Inoltre, non ha nemmeno una diagonale principale.