Una matrice non simmetrica è una matrice non quadrata in cui gli elementi della matrice trasposta si trovano in posizioni diverse rispetto agli elementi della matrice originale.
In altre parole, la matrice non simmetrica è una matrice in cui il numero di righe (n) è diverso dal numero di colonne (m) e la trasposta della matrice è diversa dalla matrice originale.
È importante non confondere le matrici asimmetriche con le matrici antisimmetriche poiché sono concetti molto diversi e si riferiscono a elementi diversi all’interno della matrice.
Perché una matrice sia simmetrica, deve essere una matrice quadrata e deve essere uguale alla sua matrice trasposta. In altre parole, che il numero di righe (n) è uguale al numero di colonne (m) e che gli elementi della matrice non cambiano una volta che le righe sono state modificate dalle colonne.
Matematicamente il concetto di simmetria significa che applicando l’operazione di trasposizione, gli elementi della matrice non cambieranno.
La matrice simmetrica e gli specchi
Capiremo meglio il concetto di matrice non simmetrica se pensiamo all’effetto che produce uno specchio.
Se ci guardiamo allo specchio vedremo riflessa la nostra faccia; se alziamo una mano, si alzerà anche una mano nello specchio. Allo stesso modo in cui se facciamo un gesto, apparirà lo stesso gesto riflesso.
Bene, lo stesso accade con la diagonale principale di una matrice simmetrica. Gli elementi sotto o sopra la diagonale principale saranno gli stessi. Cioè, la diagonale principale di una matrice simmetrica funge da specchio degli elementi che la circondano.
Data una matrice simmetrica S ,
La matrice trasposta S avrebbe la seguente forma:
Per maggiori informazioni sulle sue proprietà matematiche, consultare l’articolo sulla matrice simmetrica.
La matrice asimmetrica e gli specchi
Nel caso della matrice non simmetrica, è come se lo specchio fosse rotto.
E quando uno specchio si rompe non riflette bene gli elementi che ha davanti. Possiamo alzare la mano destra e vedere che quattro mani sono alzate o nessuna è alzata.
Quindi, applicando la stessa logica, la matrice non simmetrica riguarda il non avere gli stessi elementi sopra o sotto la diagonale principale e anche che non sono uguali.
Tale che:
In questa matrice non possiamo trovare la diagonale principale e, quindi, non c’è simmetria nel numero di elementi. Inoltre, se trasponiamo la matrice precedente vedremo che non mantiene il suo stato originale.
La matrice NS trasposta avrebbe la seguente forma:
Riepilogo
Quando ci imbattiamo nel concetto di matrice non simmetrica, non ci resta che pensare alla matrice simmetrica e anteporre una negazione alle sue caratteristiche. Cioè, una matrice non simmetrica sarà tale da soddisfare:
- Matrice non quadrata.
- Matrice trasposta non uguale alla matrice originale.
Può sembrare facile ricordare cosa sia una matrice non simmetrica, ma quando lavoriamo con matrici antisimmetriche a volte confondiamo i concetti.
Matrice antisimmetrica