Matrice antisimmetrica

Matrice antisimmetrica

Specchio 1

Una matrice antisimmetrica è una matrice quadrata in cui gli elementi al di fuori della diagonale principale sono simmetricamente uguali ma quelli al di sotto della diagonale principale portano segno negativo.

In altre parole, una matrice antisimmetrica è una matrice che ha lo stesso numero di righe (n) e colonne (m) e gli elementi su entrambi i lati della diagonale principale sono complementari.

Poiché gli elementi sopra e sotto la diagonale principale sono sfalsati, gli elementi sulla diagonale principale sono zeri.

Articolo consigliato: matrice non simmetrica e matrice simmetrica.

Caratteristiche della matrice antisimmetrica

Le caratteristiche di una matrice antisimmetrica sono:

  • Matrice quadrata.
  • Matrice simmetrica + segno negativo (-) negli elementi sotto la diagonale principale.
  • Gli elementi della diagonale principale sono zeri (0).

Matrice antisimmetrica

Data una matrice quadrata AS ,

Matrice antisimmetrica 1
Matrice antisimmetrica

Possiamo vedere come gli stessi elementi appaiano su entrambi i lati della diagonale principale, ma con la particolarità che gli elementi sotto la diagonale principale hanno davanti il ​​segno negativo. Inoltre, la diagonale principale è composta da zeri.

La matrice antisimmetrica e gli specchi

Allo stesso modo della matrice simmetrica, anche la matrice antisimmetrica può essere intesa attraverso l’esempio dello specchio.

Specchio 1
Specchio

Se ci guardiamo allo specchio e alziamo il braccio destro, vedremo che la persona nello specchio alza il braccio sinistro. In altre parole, il movimento dello specchio è complementare al nostro e, quindi, la somma di entrambi risulterebbe nulla.

Possiamo esprimere l’idea di cui sopra come segue e dedurre:

(Alza la mano destra ) (Alza la mano sinistra ) = 0

(Alza la mano destra ) = (Alza la mano sinistra )

La diagonale principale funge da specchio e vediamo elementi opposti su entrambi i lati della diagonale principale. La funzione neutra (=) corrisponde alla diagonale principale.

Proprietà

  • La matrice trasposta di una matrice antisimmetrica è uguale alla matrice antisimmetrica moltiplicata per (-1).

In altre parole, sarebbe come aggiungere un segno negativo davanti alla matrice antisimmetrica.

Matematicamente,

Proprietà matrice antisimmetrica 1
Proprietà della matrice antisimmetrica

Possiamo vedere che con entrambe le procedure si arriva allo stesso risultato: trasporre la matrice o moltiplicare per (-1) la matrice antisimmetrica.

Matrice non simmetrica vs Matrice antisimmetrica vs Matrice simmetrica

L’esempio dello specchio nel caso della matrice simmetrica è sufficiente che rifletta lo stesso movimento, cioè se alziamo un braccio, possiamo vedere un braccio alzato ma non è necessario specificare di cosa si tratta. Nel caso della matrice antisimmetrica, dobbiamo verificare quale braccio vediamo nello specchio e determinare se è una matrice antisimmetrica.

Se alziamo un braccio e nello specchio vediamo che…

  • Lo stesso braccio è alzato, dal punto di vista della persona allo specchio, quindi è una matrice simmetrica.
  • Il braccio opposto è alzato, dal punto di vista della persona allo specchio, quindi è una matrice antisimmetrica.
  • Se nessun braccio è alzato o se ne alza più di uno, dal punto di vista della persona allo specchio, allora è una matrice non simmetrica.

Divisione matrice

  • Diagonale principale
  • Matrice allegata
  • Decomposizione Cholesky